中小学教育资源及组卷应用平台 专题三 开放探究型专题 专题解读 开放型问题主要是相对于封闭型问题而言的，它涉及面很广，形式多种多样，取材广泛开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，因为考查学生多种能力，具有选拔功能，所以是中考试题的热点考题. 解题策略:开放型问题的基本形式有:条件开放题问题的条件不完备）；结论开放题（问题的结论不确定或不唯），这些问题的解决，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放型问题转化为封闭型问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.现在还出现一些其他形式的开放题，如解题策略的开放题和题干结构的开放题前者主要侧重于解题方法或策略的选择和设计，后者主要是所给题目不完整，需要解题者把题目补充完整，然后完成解答. 考点一 条件探究型 条件探究型问题是指问题中结论明确，而需要完备使结论成立的条件的题目.探求条件的过程，是一个分析法的过程.解答条件探究型问题的思路是，从所给结论出发，由果索因，这是数学中的一种重要的解题方法设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，并进行逻辑证明，从而寻找出满足结论的条件.解条件开放题分两种情况，一种是直接补齐条件，使题目结论成立；另一种是需要我们作出探索去补齐条件使题目结论成立.这两种情况所需补充的条件往往不唯一. 典例1 如图所示，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF. （1）证明:四边形ADEF是平行四边形. （2）当△ABC满足条件_____时，四边形ADEF为矩形. （3）当△ABC满足条件_____时，四边形ADEF不存在. （4）当△ABC满足条件_____时，四边形ADEF为菱形. 思路导引 （1）可先证明△ABC≌△DBE，可得DE＝AC，又有AC＝AF，可得DE＝AF，同理可得AD＝EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ADEF是平行四边形； （2）如四边形ADEF是矩形，则∠DAF＝90°，又有∠BAD＝∠FAC＝60°，可得∠BAC＝150°，故∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形； （3）根据∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时D，A，F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在； （4）利用菱形的性质与判定得出即可. 名师点拨 本题考查了等边三角形的性质及三角形内角和为180°、平行四边形和矩形的判定等知识，熟练掌握相关的定理是解题关键. 跟踪训练1 1.已知平行四边形ABCD中，下列条件:①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（ ） A.① B.② C.③ D.④ 2.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）.只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是_____（写出一个即可）. 3.如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋12与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），且经过点C（-1，7）和点D（5，7）. （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接AD，经过点B的直线与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F.连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1:7，点P为直线上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t.当t为何值时，△PFB的面积最大？并求出最大值； （3）在抛物线y＝ax2＋bx＋12上，当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m-n的取值范围.（直接写出结果即可） 考点二 结论探究型 结论探究型问题是指由给定的已知条件探求相应的结论的问题.解答这类问题的思路是:从所给条件（包括图形特征）出发，进行探索、归纳，大胆猜想出结论，然后对猜想的结论进行推理、证明.观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，学习中应重视并应用. 典例2 如图所示，正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，△MBE为等边三角形，过点E作ME的垂线分别与边AD，BC相交于点F，G，点P，Q分别在线段EF，BC上运动，且满足∠PMQ＝60°， ... ...
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