人教版数学八年级下册期末专题复习二 勾股定理（含答案）

人教版数学八年级下册期末专题复习二　勾股定理 第2课时 勾股定理中判定直角的常用方法 1．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F在AB上，且AF : FB＝3 : 1. (1)请你判断EF与DE的位置关系，并说明理由； (2)若此正方形的面积为16，求DF的长． 2．如图是一块地的平面图，已知AD＝8 m，CD＝6 m，∠D＝90°，AB＝26 m，BC＝24 m，求这块地的面积． 3．如图，在△ABC中，D为BC的中点，AB＝5，AD＝6， AC＝13.求证AB⊥AD. 4．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P为△ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转α得到CD，连接AD. (1)如图①，当α＝60°，PA＝10，PB＝6，PC＝8时，求∠BPC的度数； (2)如图②，当α＝90°，PA＝3，PB＝1，PC＝2时，求∠BPC的度数． 5．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN. 求证：AB2＝2(CM＋CN)2. 中小学教育资源及组卷应用平台 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 参考答案 1．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F在AB上，且AF : FB＝3 : 1. (1)请你判断EF与DE的位置关系，并说明理由； 解：EF⊥DE.理由如下： 设正方形的边长为a，则AD＝DC＝BC＝ AB＝a，BF＝a，AF＝a，BE＝EC＝a. 在Rt△DAF中，DF2＝AD2＋AF2＝a2. 在Rt△CDE中，DE2＝CD2＋CE2＝a2. 在Rt△EFB中，EF2＝FB2＋BE2＝a2. ∵DE2＋EF2＝a2＋a2＝a2＝DF2， ∴△DFE为直角三角形，且∠DEF＝90°.∴EF⊥DE. (2)若此正方形的面积为16，求DF的长． 解：∵正方形的面积为16， ∴a2＝16. ∵DF2＝a2＝×16＝25， ∴DF＝5. 2．如图是一块地的平面图，已知AD＝8 m，CD＝6 m，∠D＝90°，AB＝26 m，BC＝24 m，求这块地的面积． 解：如图，连接AC. ∠D＝90°， ∴AC2＝CD2＋AD2. ∵AD＝8 m，CD＝6 m， ∴AC＝10 m. 在△ABC中，AC2＋BC2＝102＋242＝262＝AB2， ∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°. ∴这块地的面积为S△ABC－S△ACD＝AC·BC－AD·CD＝×10× 24－×8×6＝96(m2)． 答：这块地的面积为96 m2. 3．如图，在△ABC中，D为BC的中点，AB＝5，AD＝6， AC＝13.求证AB⊥AD. 【点拨】本题运用构造全等三角形来说明线段相等，再利用勾股定理的逆定理说明三角形为直角三角形，从而说明两条线段垂直． 证明：如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE. ∵D为BC的中点，∴CD＝BD. 又∵AD＝DE，∠ADC＝∠EDB， ∴△ADC≌△EDB. ∴BE＝AC＝13. 在△ABE中，AE＝2AD＝12， ∴AE2＋AB2＝122＋52＝169. 又∵BE2＝132＝169， ∴AE2＋AB2＝BE2. ∴△ABE是直角三角形， 且∠BAE＝90°，即AB⊥AD. 4．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P为△ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转α得到CD，连接AD. (1)如图①，当α＝60°，PA＝10，PB＝6，PC＝8时，求∠BPC的度数； 解：连接DP. 由题意知CD＝CP＝8，∠PCD＝60°， ∴△DCP为等边三角形．∴∠CDP＝60°，DP＝DC＝8. 易得△CPB≌△CDA，∴∠BPC＝∠ADC，AD＝BP＝6. ∴AD2＋DP2＝AP2. ∴∠ADP＝90°. ∴∠ADC＝150°. ∴∠BPC＝150°. (2)如图②，当α＝90°，PA＝3，PB＝1，PC＝2时，求∠BPC的度数． 解：连接DP，易得△DCP为等腰直角三角形． ∴∠CDP＝45°. 易得△CPB≌△CDA， ∴∠BPC＝∠ADC，AD＝BP＝1. ∴AD2＋DP2＝AD2＋(CD2＋CP2)＝9. ∵AP2＝9，∴AD2＋DP2＝AP2. ∴∠ADP＝90°. ∴∠ADC＝135°. ∴∠BPC＝135°. 5．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN. 求证：AB2＝2(CM＋CN)2. 证明：如图，连接CD，过点D作 DE⊥BC于点E. ∵DM⊥DN， ∴∠MDC＋∠CDN＝90°. ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点， ∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠A＝∠B＝45°. ∴∠CDN＋∠ ... ...