1.1 等腰三角形 一、选择题（共5小题；共25分） 1. 若正三角形 的两条角平分线 和 交于点 ，则 等于 A. B. C. D. 2. 如图，点 ，， 分别是等边三角形 各边上的点，且 ，则 的形状是 A. 等边三角形 B. 腰和底边不相等的等腰三角形 C. 直角三角形 D. 不等边三角形 3. 如图，点 是线段 的中点，过点 的直线与 成 的角，在直线上取一点 ，使 ，则满足条件的点有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 如图，点 是等边三角形 的边 上的点，，，则对 的形状最准确的判断是 A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 不等边三角形 D. 不能确定形状 5. 下列三角形：① 有两个角等于 ；② 有一个角等于 的等腰三角形；③ 三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④ 一腰上的中线也是这条腰上的高的等 腰三角形．其中是等边三角形的有 A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④ 二、填空题（共7小题；共35分） 6. 如图，已知 ，点 在边 上，，点 ， 在边 上，，若 ，则 ?． 7. 如图，以等腰直角三角形 的斜边 为边向内作等边三角形 ，连接 ，以 为边作等边三角形 ，， 在 ， 的同侧，若 ，则 ?． 8. 如图，在边长为 的等边三角形 中， 是 边上的高，点 ， 是 上的两点，则图中阴影部分的面积是 ?． 9. 如图，将边长为 的等边三角形 沿着 方向平移，使点 与点 重合，则 的长为 ?． 10. 如图，点 为线段 上一动点（不与点 ， 重合），在 同侧分别作正三角形 和正三角形 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ，连接 ．以下五个结论： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ． 其中恒成立的结论有 ?．（把你认为正确的序号都填上） 11. 如图，在 中，分别以 ， 为边作等边三角形 和等边三角形 ，连接 ， 交于点 ，则 的度数为 ?． 12. 如图，已知直线 ，将等边三角形如图放置，若 ，则 等于 ?． 三、解答题（共4小题；共60分） 13. 一个直角三角形房梁如图所示，其中 ，，，，，垂足分别是 ，，那么 的长是多少? 14. 如图，在等边三角形 的边 上取中点 ， 的延长线上取一点 ，使 ． 求证：． 15. 如图（1）， 中，，， 的平分线交于点 ，过点 作 交 ， 于点 ，． （1）图中有几个等腰三角形?猜想： 与 ， 之间有怎样的关系，并说明理由? （2）如图（2），若 ，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们．在第（1）问中 与 ， 间的关系还存在吗? （3）如图（3），若 中 的平分线 与三角形外角平分线 交于点 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ．这时图中还有等腰三角形吗? 与 ， 关系又如何?说明你的理由． 16. 如图，在直角坐标系中，点 的坐标是 ，点 是 轴上的一个动点，点 在 轴上移时，始终保持 是等边三角形．当点 移动到点 时，得到等边三角形 （此时点 与点 重合）． （1）点 在移动的过程中，当等边三角形 的顶点 在第三象限时（如图所示），求证：；由此你发现什么结论? （2）求点 在 轴上移动时，点 所在函数图象的解析式． 答案 第一部分 1. C 2. A 3. B 4. B 5. D 第二部分 6. 【解析】过点 作 ，垂足为点 ， 在 中，，，， ． ，， ． ． 7. 8. 9. 10. ①②③⑤ 11. 12. 【解析】过点 作 ，如图， 则 ． ， ， ． 是等边三角形， ， ． 第三部分 13. 在 中，，． ． ， ． ， ． 在 中，， ． 在 中，． ． 14. 是等边三角形， ． 为 的中点， ． ， ． ． ． 15. （1） 图中有 个等腰三角形，， ，且这两个三角形均为等腰三角形， 可得 ． ??????（2） 还有两个等腰三角形，为 ，，如图所示． ， ． 又 ， ． 为等腰三角形，在 中，同理可证． 存在． ??????（3） 有等腰三角形：，，此时 ，如图所示． ， ． 又 ， ． 是等腰三角形． 在 中，同理可证 是等腰三角形， ，， ． ． 16. （1） 与 都是等边三角形， ，，． ． ． ． ... ...
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