11.2.2 三角形的外角 与三角形有关的角 八年级上册 RJ 初中数学 1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. 2.直角三角形的两个锐角互余. 3.有两个角互余的三角形是直角三角形. 练习：1.在△ABC中，∠A=30°，∠B=∠C，则 ∠B=_____. 2.在Rt△ABC中，锐角∠B=45°，则另一个锐角∠C=____ . 75° 45° 知识回顾 1.了解三角形外角的概念. 2.理解三角形外角性质及三角形外角和的探究. 3.熟练掌握并运用三角形外角性质解决实际问题. 学习目标 邻补角的概念：如图，∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线（∠1和∠2互补），具有这种关系的两个角互为邻补角. 邻补角的性质：∠1+∠2=180°. C A B O 1 2 如果延长△ABC的边AB至点D，那么该延长线BD与相邻的边BC形成的∠CBD具有什么样的性质呢？ B C A D 课堂导入 足球比赛中的数学知识 在绿茵场上，足球员在E处受到阻挡需要传球，请帮 助作出选择，应传给在B处的球员还是C处的球员，其射 门不易射偏？（不考虑其他因素） 在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯 的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到 原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？ 想一想 概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如图，∠CBD是△ABC的一个外角. 问题1：三角形的外角和相邻的内角之间的大小关系？ 问题2：三角形的外角具备什么特征？ 问题3：三角形共有几个外角？每个顶 点处有几个外角？ 三角形的外角 B C A D 知识点1 三角形的外角 新知探究 答案1：三角形的外角和相邻的内角之和为180°. 答案2：三角形的外角具备3个特征： ①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一条边； ③另外一条边是三角形某条边的延长线. 答案3：三角形共有6个外角.每个顶点处有2个外角. A B E F C 三角形的外角 如图，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C处的一个外角，请问∠CAD与∠2，∠3之间的大小关系？ A B E F C D 1 2 3 解：∵∠CAD是△ABC的外角， ∠ CAD+∠1=180°，则∠1=180°-∠CAD. ∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角， ∴∠1+∠2+∠3=180°， 则∠1=180°-（∠2+∠3）. ∴∠CAD=∠2+∠3. 知识点2 三角形外角的性质 新知探究 你能用作平行线的方法证明此结论吗？ D 证明：过C作CE平行于AB， A B C 1 2 ∴∠1= ∠B， （两直线平行，同位角相等） ∠2= ∠A ， （两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B. E 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. 例1 如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数. ∵ ∠BEC是△AEC的一个外角， ∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE， ∵∠A=42° ，∠ACE=18°， ∴ ∠BEC=60°. ∵ ∠BFC是△BEF的一个外角， ∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF， ∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°， ∴ ∠BFC=88°. 解： F A C D E B 利用三角形外角的性质求角的度数 例2 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数． 分析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数． E 借助辅助线求角的度数 解：延长BP交AC于点E， 则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A， ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°. 方法点拨：求角的度数，常连接并延长或延长三角形的边长，通过构造三角形的外角，利用外角的性质解决. 【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数. A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题. A B C D ( ( 20 ° 30 ° 解法一：连接A ... ...
