2021年中考数学三轮复习：几何探究题（WORD版 原卷+解析）

2021年中考数学几何探究题 类型1 新定义型探究问题 【方法点拨】在材料中,为问题的提出设置一种背景,如新定义,新定理,新运算.解决此类问题要仔细阅读题目所提供的新定义、新定理或新运算的内容, 通过对材料信息的分析、提炼, 再运用所分析、提炼的结果或题目所提供的运算法则解决新问题. 【例1】（2021?鄞州区模拟）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是　 　； （2）如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，四边形DEFG是垂等四边形，且∠EFG＝90°，AF＝CG． ①求证：EG＝DG； ②若BC＝n?BG，求n的值； （3）如图2，在Rt△ABC中，2，AB，以AB为对角线，作垂等四边形ACBD．过点D作CB的延长线的垂线，垂足为E，且△ACB与△DBE相似，求四边形ACBD的面积． 【分析】（1）根据“垂等四边形”的定义进行分析； （2）①通过△ADF≌△CDG的性质推知DF＝DG；然后根据四边形DEFG是垂等四边形的性质知EG＝DF；最后由等量代换证得结论； ②如图1，过点G作GH⊥AD，垂足为H，首先证明△BFG为等腰直角三角形，则∠GFB＝45°；然后证得△AEF为等腰直角三角形；再次，根据等腰直角三角形的性质和已知条件得到：BC＝3AE，BG＝2AE．代入求值即可； （3）解：如图2，过点D作DF⊥AC，垂足为F，构造矩形CEDF．在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC＝2，BC＝1．再由垂等四边形四边形ACBD的性质知． 分两种情况：当△ACB∽△BED时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB求得结果； 当△ACB∽△DEB时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB求得结果． 【解答】（1）解：矩形有一组邻边垂直且对角线相等，故矩形的垂等四边形． 故答案是：矩形； （2）①证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD，∠A＝∠C． 又∵AF＝CG， ∴△ADF≌△CDG（SAS）， ∴DF＝DG． ∵四边形DEFG是垂等四边形， ∴EG＝DF， ∴EG＝DG． ②解：如图1，过点G作GH⊥AD，垂足为H， ∴四边形CDHG为矩形， ∴CG＝DH． 由①知EG＝DG， ∴DH＝EH． 由题意知∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AF＝CG， ∴AB﹣AF＝BC﹣CG， 即BF＝BG， ∴△BFG为等腰直角三角形， ∴∠GFB＝45°． 又∵∠EFG＝90°， ∴∠EFA＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∴△AEF为等腰直角三角形， ∴AE＝AF＝CG， ∴AE＝EH＝DH， ∴BC＝3AE，BG＝2AE． ∵BC＝n?BG， ∴． （3）解：如图2，过点D作DF⊥AC，垂足为F， ∴四边形CEDF为矩形． ∵， ∴AC＝2BC． 在Rt△ABC中，， 根据勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（2BC）2+BC2＝5， ∴AC＝2，BC＝1． ∵四边形ACBD为垂等四边形， ∴． 第一种情况： 当△ACB∽△BED时，， 设DE＝x，则BE＝2x， ∴CE＝1+2x． 在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE2+DE2＝CD2， 即（1+2x）2+x2＝5， 解得，（舍去）， ∴，， ∴S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB； 第二种情况： 当△ACB∽△DEB时，， 设BE＝y，则DE＝2y， ∴CE＝1+y． 在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE2+DE2＝CD2， 即（1+y）2+（2y）2＝5， 解得，（舍去）， ∴，， ∴S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB． 综上所述，四边形ACBD的面积为或． 【点评】本题主要考查了相似综合题，综合运用相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识点解题，解题的关键是掌握“垂等四边形”的定义，另外解题过程中，注意方程思想的应用．难度较大． 【变式1-1】（2021?河南模拟）定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示． 操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠 ... ...