第 一 章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念 自主学习 新知突破 1．了解实际问题中平均变化率的意义． 2．理解函数的平均变化率与瞬时变化率的概念． 3．理解并掌握导数的概念． 4．掌握求函数在一点处的导数的方法． 现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载 时间 3月18日 4月18日 4月20日 日最高气温 3.5 ℃ 18.6 ℃ 33.4 ℃ 观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为： [问题1]———气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？(形与数两方面) [提示1] 曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度． [问题2] 由点B上升到点C，必须考察yC－yB的大小，但仅仅注意yC－yB的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？ 函数的变化率 [x1，x2] x0 1．关于函数的平均变化率，应注意以下几点 (1)函数f(x)在x1处有定义． (2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)． 函数y＝f(x)在x＝x0处的_____变化率称为函数y＝f(x)在_____处的导数，记作_____或 _____， 导数的概念 瞬时 x＝x0 f′(x0) y′|x＝x0 2．对函数在某点处导数的认识 (1)函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数值改变量与自变量的改变量比值的极限，不是变量． (2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关． (3)导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛． 1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( ) A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 解析： Δy＝f(2.1)－f(2)＝0.41. 答案： B 2．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( ) A．6 B．18 C．54 D．81 答案： B 3．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2.其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度为_____． 答案： 5米/秒 合作探究 课堂互动 求函数的平均变化率 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值． [思路点拨] 先求自变量的增量和函数值的增量，然后代入公式计算． 求物体的瞬时速度 已知函数f(x)＝2x2＋1. (1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率； (2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率； (3)求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率． 1.求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步缩小区间长度，根据平均变化率的变化情况估计出瞬时变化率． 求函数f(x)在某点处的导数 已知f(x)＝x2＋3. (1)求f(x)在x＝1处的导数； (2)求f(x)在x＝a处的导数． 3．已知函数y＝2x2＋4x. (1)求函数在x＝3处的导数； (2)若函数在x0处的导数是12，求x0的值． 谢谢观看！ ... ...
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