人教B版（2019）高中数学 选择性必修第一册 1.2.3　直线与平面的夹角（课件(共74张PPT)+学案）

(课件网) 第一章　§1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.3　直线与平面的夹角 学习目标 1.理解斜线与平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性. 2.会利用空间向量求直线与平面的夹角. 导语 同学们，上节课我们学习了三垂线定理，我们知道了过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直，而过平面外一点有无数条平面的斜线，比如同学们写字时所握笔的姿势，铅笔所在的直线与课本所在的平面会产生一个夹角，而我们今天就研究这条斜线与平面的夹角. 随堂演练 课时对点练 一、直线与平面的夹角 二、最小角定理 三、用空间向量求直线与平面的夹角 内容索引 一、直线与平面的夹角 问题1　直线与平面所成的角是如何定义的？ 提示　如图，AA′⊥α，AB是平面α的一条斜线，直线A′B是斜线AB在平面α内的射影，且唯一确定，则∠ABA′即为直线AB与平面α所成的角. 知识梳理 1.斜线与平面所成的角 注意到平面的一条斜线在平面内的射影是 的，因此，平面的斜线与它在平面内的射影所成的 ，称为这条斜线与平面所成的角. 2.直线与平面所成的角 (1)定义：如图，如果直线AB是平面α的一条斜线，B为 ，A′B是直线AB在平面α内的 ，则 就是直线AB与平面α所成的角. (2)范围：直线与平面α所成的角θ的范围是 . 当θ＝0°，AB α或AB α； 当θ＝90°，AB α. 唯一确定 锐角 斜足 射影 ∠ABA′ 0°≤θ≤90° ∥ ? ⊥ A.30°　　B.60°　　C.45°　　D.90° √ 解析　如图，取AB的中点O，连接CO，B1O，△ABC为等边三角形，O为AB的中点， ∴CO⊥AB，而平面ABC⊥平面AA1B1B， 且平面ABC∩平面AA1B1B＝AB，CO?平面ABC， ∴CO⊥平面AA1B1B， ∴∠CB1O即为B1C与平面AA1B1B所成的角. 又0°≤∠CB1O≤90°， ∴∠CB1O＝30°. 反思感悟　利用线面角定义，求线面角即求斜线与它在平面内的射影所成的角，所以找该斜线在平面内的射影是关键，而要找射影关键是找垂线，所以求线面角的关键是找平面的垂线. 跟踪训练1　在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BCD1所成角的正弦值等于_____. 解析　如图，过D作DO⊥CD1，O为垂足. ∵BC⊥平面CDD1C1， ∴BC⊥DO， 又DO⊥CD1且BC∩CD1＝C，BC，CD1?平面BCD1， ∴DO⊥平面BCD1， ∴∠DCO为CD与平面BCD1所成的角. 令AB＝1， ∴CD＝1，DD1＝2， 二、最小角定理 问题2　如图，平面的斜线OA与平面内的任意的直线比如OM都有夹角，则线面角θ1与∠AOM＝θ有什么样的关系？ 提示　若BM⊥OM，则由三垂线定理可知OM⊥AM，则OB＝OAcos θ1，OM＝OBcos θ2＝OAcos θ1cos θ2，而在Rt△AOM中，OM＝OAcos θ， 所以OAcos θ1cos θ2＝OAcos θ，即cos θ＝cos θ1cos θ2，显然上述三个角均为锐角，故有cos θ≤cos θ1，即θ1≤θ，也就是说平面的斜线与平面所成的角是该斜线与平面内所有直线所成角的最小角. 知识梳理 如图，AB⊥α，则图中θ，θ1，θ2之间的关系是 . 斜线和它在平面内的 所成的角，是斜线 和这个平面内所有直线所成角中 . 注意点：(1)辅助记忆：这三个角中，θ是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积，运用时可以背诵成横的角乘以竖的角等于斜的角；(2)从空间一点O引出的三条射线OA，OB，OM满足cos∠AOM＝cos∠AOB·cos∠BOM，则平面AOB⊥平面BOM. cos θ＝cos θ1·cos θ2 射影 最小的角 求PC与平面ABCD所成的角. 解　∵PA⊥平面ABCD， ∴∠PCA为PC与平面ABCD所成的角， 在△PCB中，由余弦定理知， 又cos∠PCB＝cos∠ACB·cos∠PCA， 又0°≤∠PCA≤90°， ∴∠PCA＝45°. 反思感悟　几何法求线面角 (1)利用线面角定义，求线面角即求斜线与它在平面内的射影所成的角，所以找该斜线在平面内的射影是关键，而要找 ... ...