习题课 等差数列的性质的综合问题 学习目标 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.2.掌握等差数列中项的设法． 一、等差数列的实际应用 例1 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为( ) A．15.5尺 B．12.5尺 C．9.5尺 D．6.5尺 答案 D 解析 设该等差数列为，冬至、小寒、大寒…芒种的日影子长分别记为a1，a2，a3，…，a12，公差为d，由题意可得， a1＋a4＋a7＝37.5，即a4＝12.5，又a12＝4.5，所以d＝＝－1. 所以立夏的日影子长为a10＝a4＋6d＝12.5－6＝6.5(尺)． 反思感悟 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中． (2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题． 跟踪训练1 某企业2020年7月份到12月份的月产量(单位：吨)逐月增加，且各月的产量成等差数列，其中7月份的产量为10吨，12月份的产量为20吨，则8月到11月这四个月的产量之和为( ) A．48吨 B．54吨 C．60吨 D．66吨 答案 C 解析 设2020年n(1≤n≤12，n∈N )月的产量为an，由题意可知，数列{an}是等差数列， 则a7＝10，a12＝20，则8月到11月这四个月的产量之和为a8＋a9＋a10＋a11＝2(a7＋a12)＝60(吨)． 二、等差数列中项的设法 例2 (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 解 (1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d， 则 解得 所以这三个数为4,3,2. (2)设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意得2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， 所以d2＝1， 所以d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列，所以d>0， 所以d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4. 反思感悟 等差数列的设项方法和技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式． (2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7项、…时，可同理设出． (3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项、…时，可同理设出． 跟踪训练2 已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数． 解 设第三个数为a，公差为d， 则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d. 由已知有 整理得 解得 当d＝时，这5个数分别是－，，1，，； 当d＝－时，这5个数分别是，，1，，－. 综上，这5个数分别是－，，1，，或，，1，，－. 三、等差数列的综合应用 例3 若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四个根组成首项为的等差数列，则数列的公差d＝_____，m＋n的值为_____． 答案 解析 设x2－x＋m＝0，x2－x＋n＝0的根分别为x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＝x3＋x4＝1(且1－4m>0,1－4n>0)． 设数列的首项为x1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x2.由题意知x1＝， ∴x2＝，数列的公差d＝＝， ∴数列的中间两项分别为＋＝，＋＝. ∴x1·x2＝m＝，x3·x4＝n＝×＝. ∴m＋n＝＋＝. 反思感悟 解决数列综合问题的方法策略 (1)结合等差数列的性 ... ...
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