4.4.1 与俯角、仰角有关的实际问题 课件（共21张PPT）

4.4.1 与俯角、仰角有关的实际问题 湘教版·九年级数学上册 新课导入 海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行. 北 东 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？ 北 东 D 分析：判断继续向东航行是否会有触礁危险，就是求AD的长度是否小于10海里. 在在日常生活中，我们经常会碰到一些与直角三角形有关的实际问题.对于这些问题，我们可以用所学的解直角三角形的知识来加以解决. 探究新知 动脑筋 某探险者某天到达如图所示的点A处，他准备估算出离他的目的地———海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离.你能帮他想出一个可行的办法吗？ 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 分析：如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，AC⊥BD，垂足为点C.先测量出海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角三角函数的知识就可以求出A、B之间的水平距离AC. 做一做 如图，如果测得点A的海拔AE为1600m，仰角∠BAC=40°求出A，B两点之间的水平距离AC（结果保留整数）. ∵ BD = 3500m，AE = 1600m，AC⊥BD，∠BAC = 40°， ∴ 在Rt△ABC中， ∴ 即AC≈2264(m). 因此，A，B两点之间的水平距离AC约为2264 m. 例1：如图， 在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25°，仪器距地面高AE为1.7m．求上海东方明珠塔的高度BD（结果精确到1m）. 分析：在直角三角形中，已知一角和它的邻边，求对边利用该角的正切即可. 解：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝25°，AC＝1000 m，因此 从而BC≈1000 × tan 25°≈ 466.3（m）． 因此，上海东方明珠塔的高度 BD＝466.3 ＋ 1.7 ＝ 468（m）． 答：上海东方明珠塔的高度BD为468 m. 练习 1.如图，一艘游船在离开码头A后，以和河岸成 30°角的方向行驶了500m到达B处，求B处与河岸的距离. 解：从点B作河岸线(看成直线段)的垂线，垂足为C， 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=500m. 由于BC是∠A的对边，AB是斜边，因此 从而BC=500×sin30°=250（m）. 答：B处与河岸的距离约为250m． 2.如图，某厂家新开发的一种电动车的大灯A射出的光线AB，AC与地面MN所形成的夹角∠ABN，∠ACN分别为8°和15°，大灯A与地面的距离为1m，求该车大灯照亮地面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1m）． 解：作AD⊥MN，垂足于D. D 如图，在Rt△ABD中，∠ABD =8°，AD =1m， 因此 从而 同理CD≈3.73 m. 所以 BC=BD-CD≈3.4（m）. 3.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)？ 解析：在Rt△ABD中，α=30°，AD=120.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC. 解：如图，α=30°，β=60°，AD=120. ∵ ∴BD=AD·tanα=120×tan30°= CD=AD·tanβ=120×tan60° ∴BC=BD+CD 答：这栋高楼约高277.1m. 4.如图，在离树BC12米的A处，用测角仪测得树顶的仰角是30°，测角仪AD高为1.5米，求树高BC．（计算结果可保留根号） 分析：本题是一个直角梯形的问题，可以通过过点D作DE⊥BC于E，把求CB的问题转化求BE的长，从而可以在△BDE中利用三角函数. 解：过点D作DE⊥BC于E，则四边形DECA是矩形， ∴DE=AC=12 m．CE=AD=1.5 m． 在直角△BED中，∠BDE=30°， ∴BE=DE·tan30°= ∴BC=BE+EC= 课堂小结 水平线 铅垂线 视点 视线 仰角 俯角 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 1.从课后习题中选取； ... ...