1.2.4从解析式看函数的性质_教案-湘教版必修一

从解析式看函数的性质 【教学目标】 1．能说出函数的上界、下界的含义，知道什么是有界函数，什么是无界函数； 2．能说出函数的最大值与最小值的定义，知道什么是函数的最大值点和最小值点； 3．能记住函数单调性的定义，知道什么是严格单调和严格单调区间； 4．知道什么是差分，能运用差分检验函数的增减性。 【教学重点】 函数单调性的定义，运用差分检验函数的增减性； 【教学难点】 用差分检验函数的增减性；最值与上、下界之间的关系。 【教学过程】 1．函数的上界和下界 （1）上界和下界：设D是函数f(x)的定义域，如果有实数B使得f(x)≤B对于一切x∈D成立，称B是函数f的一个上界，如果有实数A使得f(x)≥A对于一切x∈D成立，称A是函数f的一个下界。 （2）有上界又有下界的函数叫有界函数，否则叫无界函数。 上界或下界一定是函数的某一个函数值吗？ 提示：不一定。函数的上界或下界可能是该函数的一个函数值，也可以不是函数的函数值。例如：函数y＝x?的下界是0，且0是该函数的一个函数值；而函数y＝的下界也是0，但0不是该函数的某个函数值。 2．函数的最大值与最小值 （1）函数的最大值定义：设D是函数f(x)的定义域，如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f（A）对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f（A），称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点。 （2）函数的最小值定义：设D是函数f(x)的定义域，如果有b∈D，使得不等式f(x)≥f（B）对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝b处取到最小值f（B），称f（B）为f(x)的最小值，b为f(x)的最小值点。 数的最大值或最小值一定是函数其中的一个函数值吗？ 提示：一定是。即最大值点或最小值点一定是函数定义域中的某个值。 数的最大值(或最小值)唯一吗？最大值点(或最小值点)唯一吗？ 提示：最大值(或最小值)是唯一的，但最大值点(或最小值点)不一定是唯一的。 大值和上界是一回事吗？ 提示：不是。函数的最大值一定是上界，但上界不一定是函数的最大值；同理，函数的最小值一定是下界，但下界不一定是最小值。 3．函数的单调性 （1）函数的单调性定义：设I是f(x)定义域D的一个非空子集，如果对于I上任意两个值x1，x?，当x1＜x?时都有f(x1)＜f(x?)，那么就说f(x)是区间I上的递增函数；如果对于I上任意两个值x1，x?，当x1＜x?时都有f(x1)＞f(x?)，那么就说f(x)是区间I上的递减函数。 （2）如果函数y＝f(x)是区间I上的递增函数或递减函数，就说f(x)在I上严格单调，区间I叫作f(x)的严格单调区间。 （3）对于函数f(x)，设h＞0，差式f(x＋h)－f(x)叫作函数在区间I上的差分。差分为正的函数就是递增函数，差分为负的函数就是递减函数。 数的单调性是函数在其整个定义域上的性质吗？ 提示：不是。单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。 增函数与减函数的定义中，能否把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”？ 提示：不能。如图所示，虽然f(－1)＜f（2），但原函数在[－1，2]上不是递增函数。 一、判断或证明函数的单调性 证明函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是递增函数。 思路分析：利用差分检验法，计算函数在(1，＋∞)上的差分f(x＋h)－f(x)，然后判断差分的正负即得结论。 证明：f(x＋h)＝x＋h＋， ∴f(x＋h)－f(x)＝x＋h＋－x－ ＝h＋－＝h－＝。 ∵h＞0，x＞1，∴hx?＋h2x－h＞0，x(x＋h)＞0. ∴＞0. 即差分f(x＋h)－f(x)＞0， ∴f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是递增函数。 1．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的递增区间，且x1∈(a，b)，x?∈(c，d)，x1＜x?，则f(x1)与f(x?)的大小关系是()。 A．f(x1)＜f(x?) B．f(x1)＞f(x?) C．f(x1)＝f(x?) D．不能确定 答案：D 解析：因为在函数的定义中特别强调了x1， x?两个值必须属于同一个单调区间 ... ...