中小学教育资源及组卷应用平台 突破08：“个性函数图像”满分计划 1．小亮在学习中遇到这样一个问题： 如图，点是弧上一动点，线段点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当为等腰三角形时，求线段的长度．2·1·c·n·j·y 小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：【来源：21·世纪·教育·网】 根据点在弧上的不同位置，画出相应的图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值． 操作中发现： ①"当点为弧的中点时， "．则上中的值是 ②"线段的长度无需测量即可得到"．请简要说明理由； 将线段的长度作为自变量和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象； 继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值．(结果保留一位小数)．21·世纪*教育网 【答案】（1）①5.0；②见解析；（2）图象见解析；（3）图象见解析；3.5cm或5.0cm或6.3cm； 【分析】 （1）①点为弧的中点时，△ABD≌△ACD，即可得到CD=BD；②由题意得△ACF≌△ABD，即可得到CF=BD；21*cnjy*com （2）根据表格数据运用描点法即可画出函数图象； （3）画出的图象，当为等腰三角形时，分情况讨论，任意两边分别相等时，即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为BD的近似值．【来源：21cnj*y.co*m】 【详解】 解：（1）①点为弧的中点时，由圆的性质可得： ， ∴△ABD≌△ACD， ∴CD=BD=5.0， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴△ACF≌△ABD， ∴CF=BD， ∴线段的长度无需测量即可得到； （2）函数的图象如图所示： （3）由（1）知， 画出的图象，如上图所示，当为等腰三角形时， ①，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=5.0cm； ②，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=6.3cm； ③，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=3.5cm； 综上：当为等腰三角形时，线段长度的近似值为3.5cm或5.0cm或6.3cm． 2．有这样一个问题：探究函数的图象与性质.下面是小文的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是_____； （2）下表是与的几组对应值： 如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对应值为坐标的点. ①观察图中各点的位置发现：点和，和，和，和均关于某点中心对称，则该点的坐标为_____；【出处：21教育名师】 ②小文分析函数表达式发现：当时，该函数的最大值为0，则该函数图象在直线左侧的最高点的坐标为_____；【版权所有：21教育】 （3）小文补充了该函数图象上两个点，. ①在上图中描出这两个点，并画出该函数的图象； ②写出该函数的一条性质：_____. 【答案】（1）x≠1；（2）①（1，1）；②（0，0）；（3）①作图见解析；②当x＜0时，y随x的增大而增大（答案不唯一）.21教育名师原创作品 【解析】 【分析】 （1）分式的分母不等于零； （2）①根据中心对称的性质和所对应的点点坐标即可求得， ②根据函数的性质求得即可； （3）①根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可； ②可以从增减性、渐近性、连续性、与坐标轴交点、图象所在象限等方面作答． 【详解】 解：（1）依题意得：2x-2≠0， 解得x≠1， 故答案是：x≠1； （2）①点A1和B1，A2和B2，A3和B3，A4和B4均关于某点中心对称，B1（0，0），A1（2，2）， ∴中心点点坐标为（1，1）； ②∵当x＜1时，该函数的最大值为0， ∴该函数图象在直线x=1左侧的最高点的坐标为（0，0）； 故答案为（1，1）；（0，0）； （3）① ②该函数的性质： （ⅰ）当x＜0时，y随x的增大而增大； 当0≤x＜1时，y随x的增大而减小； 当1＜x＜2时，y随x的增大而减小； 当x≥2时，y随x的增大而增大． （ⅱ）函 ... ...
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