中小学教育资源及组卷应用平台 突破02：“最值问题”之五大终极策略 第一：利用两点之间线段最短 特征： （1）两个定点一个动点，即“两定一动” （2）定点在动点轨迹l（即对称轴）的同侧 （3）求动点到两个定点距离和的最小值（如：PA+PB） 解法： （1）关于动点轨迹l（即对称轴）作一个定点（如：B）的对称点 (B') （2）连接对称点（B'）和另一个定点（A） （3）连线（即AB'）与动点轨迹m（即对称轴）交点Q即所求动点。 1. 如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点。则当PB+PE的值为最小值时,点P的位置在( )21世纪教育网版权所有 A. AC的三等分点 B. AC的中点 C. 连接DE与AC的交点 D. 以上答案都不对 解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴B、D关于AC对称， ∴PB=PD， ∴PB+PE=PD+PE=DE. 根据两点之间线段最短，所以此时PB+PE的值最小。 故P点即为所求； 故选C. 2.如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家。他要完成这件事情所走的最短路程是( ) A. 15 km B. 16 km C. 17 km D. 18 km 解：如图,作出A点关于小河MN的对称点A′,连接A′B交MN于点P， 则A′B就是牧童要完成这件事情所走的最短路程。 在Rt△A′DB中，由勾股定理求得 则他要完成这件事情所走的最短路程是17km. 故选C. 3.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为_____.21·cn·jy·com 解：连接BD，DE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与点D关于直线AC对称， ∴DE的长即为BQ+QE的最小值， ∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=6. 故答案为：6. 4.如图,抛物线y=?x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(?3,0)两点。 (1)求该抛物线的解析式； (2)设(1)中的_???????????¤yè??_与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小?若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；21·世纪*教育网 解：(1)将A(1,0),B(?3,0)代y=?x2+bx+c中得 ∴抛物线解析式为：y=?x2?2x+3; (2)存在 理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=?1对称 ∴直线BC与x=?1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小 ∵y=?x2?2x+3 ∴C的坐标为：(0,3) 直线BC解析式为：y=x+3(6分) Q点坐标即为 ∴Q(?1,2)。 第二：利用垂线段最短 （1）点P是∠AOB的内部_??????????????¨O_A上找一点M，在OB上找一点N，使得PN＋MN最小．要PN＋MN最小，设法将PN，MN转化在同一条直线上，想到作点P关于OB的对称点P′，即求P′N＋MN的最小值，因此只要P′M⊥OA，利用垂线段最短即可求解． （2）“胡不归”问题即点P在直线BM上运动的“PA＋k·PB(0
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