22.2 二次函数与一元二次方程 （第1课时） 二次函数与一元二次方程的联系再次展示了函数与方 程的联系，一方面可以深化对一元二次方程的认识， 另一方面又可以运用二次函数解决一元二次方程的有 关问题． 课件说明 课件说明 学习目标： 了解二次函数与一元二次方程的联系. 学习重点： 二次函数与一元二次方程的联系 二次函数的一般式： （a≠0） _____是自变量，____是____的函数。 x y x 当 y = 0 时， ax? + bx + c = 0 复习引入 ax? + bx + c = 0 这是什么方程？ 我们学习了的“一元二次方程” 一元二次方程与二次函数有什么关系？ 问题: 如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系 h = 20t－5t 2 考虑以下问题： （1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？ （3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ （4）球从飞出到落地需要用多少时间？ 所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方 程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h 的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值． 分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数 h=20t－5t 2 t1=1s t2=3s 15 m 15m 20 t – 5 t 2 = 15 t 2 － 4 t ＋3 = 0 t 1 = 1，t 2 = 3 1s 3s 解：（1）当 h = 15 时， 当球飞行 1s 和 3s 时，它的高度为 15m （2）当 h = 20 时， 20 t – 5 t 2 = 20 t 2 － 4 t ＋4 = 0 t 1 = t 2 = 2 当球飞行 2s 时，它的高度为 20m . 2s 20 m （3）当 h = 20.5 时， 20 t – 5 t 2 = 20.5 t 2 － 4 t ＋4.1 = 0 因为(－4)2－4×4.1 < 0 ，所以方程无实根。 球的飞行高度达不到 20.5 m. 20.5 m （4）当 h = 0 时， 20 t – 5 t 2 = 0 t 2 － 4 t = 0 t 1 = 0，t 2 = 4 当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。 0s 4s 0 m 从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切． 一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0 例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）． 反过来，解方程x2－4x+3=0 又可 以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值． 从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程? 一般地，当y取定值时，二次函数为一元二次方程。 如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程。 为一个常数 （定值） 探究思考2 1、二次函数y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 – x+ 1的图象如图所示。 (1).每个图象与x轴有几个交点？ (2).一元二次方程: x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根? 验证一下一元二次方程x2 – x+ 1 =0有根吗? (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 答：2个，1个，0个 (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 二次函数 与x轴交点坐标 相应方程的根 (-2,0),(1,0) x1=-2,x2=1 (3,0) x1=x2=3 无交点 无实根 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标是方程ax2+bx+c =0的根。 反之，方程ax2+bx+c =0的根是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标。 有两个根 有一个根（两个相同的根） 没有根 有两个交点 有一个交点 没有交点 b2 – 4ac > 0 b2 – 4ac = 0 b2 – 4ac < 0 ax2+bx+c = 0 的根的情况 y=ax2+bx+c 的图象 与x轴交点情况 若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则_____ 。 b2 – 4ac ≥ 0 △＞0 △=0 △＜0 o x y △ = b2 – 4 ... ...
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