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课件网) 27.2.1 相似三角形的判定（3） 人教版 九年级下册 复习知识 判断两三角形相似 1.定义法: 的两个三角形相似. 2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形 . 对应角相等，对应边的比相等 相似 3. 对应成比例的两个三角形相似. 三边 新知导入 学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等、对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）。 类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？ 活动探究 如图，小方格的边长都是1.任意画△ABC和△A′B′C′，使∠A=∠A ,=k ，动手计算它们第三组对应边BC和B'C'的长，它们的比等于k吗？ 这两个三角形另外两组对应角∠B与∠B'，∠C与∠C'是否相等？ ∵小方格的边长都是1 ∴=k，B′C′=，BC=3 ∴=k ∵ ∴ △ABC ∽△A′B′C′. ∴ ∠B=∠B'，∠C=∠C'. A B C B′ C′ (A′) 活动探究 A(A′) B C B′ C′ 探究结果： 如果∠A=∠A ,=k 那么△ABC ∽△A′B′C′. 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形一定相似吗？ 活动探究 证明：在△A′B′C′的边A′B′ (或延长线)上截取A′D=AB, 过点 D 作 DE∥B′C′. ∵ DE∥B′C′ ∴ △A′DE ∽△A′B′C′. ∴ 又∵ ，A′D=AB ∴ A′E=AC 在△ABC和△A′DE中，A′D=AB，∠A＝∠A′，A′E=AC ∴ △A′DE ≌△ABC ∴ △ABC ∽△A′B′C′. 已知:如图，在△ABC和△A′B′C′中，，∠A＝∠A′. 求证:△ABC∽△A′B′C′. A B C A B D E 新知讲解 利用两边和夹角来判定三角形相似的定理： 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形一定相似. 简称“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”． 符号语言： ∵ ，∠B=∠B′ ∴ △ABC ∽ △A′B′C′. A B C A′ B′ C′ 想 一 想 思考：对于△ABC和△A′B′C′，如果，∠B=∠B′，这两个三角形一定会相似吗？ 不会。如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等。 A B C A′ B′ B″ C′ 归纳总结 如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角. 新知讲解 【例1】根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由： ∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm， ∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm． 解：， = ， ∴ 又 ∠A= ∠A′ ∴ △ABC ∽△A′B′C′. 例题讲解 小试牛刀 已知∠A=40°，AB=8，AC=15，∠A' =40°，A'B' =16，A'C' =30 ，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由. 解： △ABC ∽△A′B′C′.理由如下： ， = ， ∴ 又 ∠A′ = ∠A ∴ △ABC ∽△A′B′C′. 例题讲解 【例2】如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE的长. 证明：∵ AE=1.5，AC=2， ∴ 又∵∠EAD=∠CAB， ∴ △ADE ∽△ABC， ∴ ∴ DE= BC= . A C B E D 提示：解题时要找准对应边. 小试牛刀 如图，在△ABC 中，AC＞BC，D 是边AC 上一点，连接BD． （1）要使△CBD∽△CAB，还需要补充一个条件是 ;（只要求填一个） （2）若△CBD∽△CAB，且AD＝2， BC=,求CD 的长． 解：（1）CD :CB＝BC :AC . （2）设CD＝x，则CA＝x＋2． 当△CBD∽△CAB，且AD＝2，BC=, 有，即, ∴x２＋2x－3＝0．解得x１＝1，x２＝－3． 但x２＝－3不符合题意，舍去． ∴CD＝1． A B C D 例题讲解 【例3】如图，在△ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且，求证：∠ACB=90°. 证明：∵CD 是边 AB 上的高， ∴∠ADC =∠CDB =90 ... ...
