第01讲 全等三角形的性质与判定 考点·方法·破译 1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等； 3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法； 4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明； 5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等. 经典·考题·赏析 【例１】如图，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90°,AB＝CD，那么图中有全等三角形（ ） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到. 解：⑴∵AB∥EF∥DC,∠ABC＝90. ∴∠DCB＝90. 在△ABC和△DCB中 ∴△ABC≌∴△DCB（SAS ） ∴∠A＝∠D ⑵在△ABE和△DCE中 ∴△ABE≌∴△DCE ∴BE＝CE ⑶在Rt△EFB和Rt△EFC中 ∴Rt△EFB≌Rt△EFC（HL）故选C. 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ） A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明. 03．(上海)已知线段AC与BD相交于点O, 连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF（如图所示）. ⑴添加条件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求证：AB＝DC； ⑵分别将“∠A＝∠D”记为①，“∠OEF＝∠OFE”记为②，“AB＝DC”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是_____命题，命题2是_____命题（选择“真”或“假”填入空格）. 【例２】已知AB＝DC，AE＝DF，CF＝FB. 求证：AF＝DE. 【解法指导】想证AF＝DE，首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在△AFB和△AEF中，而DE在△CDE和△DEF中，因而只需证明△ABF≌△DCE或△AEF≌△DFE即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件. 证明：∵FB＝CE ∴FB＋EF＝CE＋EF，即BE＝CF 在△ABE和△DCF中, ∴△ABE≌△DCF（SSS） ∴∠B＝∠C 在△ABF和△DCE中, ∴△ABF≌△DCE ∴AF＝DE 【变式题组】 01．如图，AD、BE是锐角△ABC的高，相交于点O，若BO＝AC，BC＝7，CD＝2，则AO的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 02.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，则BD＝_____. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC中，∠ ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F. 求证：AB＝FC. 【例３】如图①，△ABC≌△DEF，将△ABC和△DEF的顶点B和顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O. ⑴当△DEF旋转至如图②位置，点B（E）、C、D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是_____; ⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____. 【解法指导】⑴ ... ...
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