3.2.2导数的运算法则 同步导学 （解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 3.2.2　导数的运算法则 Q　 如何求得下列函数的导数呢？ 1．y＝x5＋x3－x2＋3； 2．y＝ex－sinx＋lnx； 3．y＝cos2－sin2. X　 导数的运算法则 和差的导数 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) 积的导数 [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x) 商的导数 []′＝(g(x)≠0) Y　 1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f ′(1)＝2，则a的值为(　A　) A．1　　 B．　　　 C．－1　　　 D．0 [解析]　∵f(x)＝ax2＋c，∴f ′(x)＝2ax， 又∵f ′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1. 2．已知f(x)＝exln x，则f′(x)＝(　C　) A． B．ex＋ C． D．＋ln x [解析]　f′(x)＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ ＝. 3．函数y＝x4＋sin x的导数为(　D　) A．y′＝4x3 B．y′＝cos x C．y′＝4x3＋sin x D．y′＝4x3＋cos x [解析]　y′＝(x4＋sin x)′＝(x4)′＋(sin x)′ ＝4x3＋cos x. 4．曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为__135°__. [解析]　f′(x)＝x2－2x，∴曲线在x＝1处的切线的斜率k＝12－2×1＝－1，∴倾斜角为135°. 5．求下列函数的导数： (1)y＝sin x－2x2； (2)y＝(2x2＋3)(3x－2)； (3)y＝. [解析]　(1)y′＝(sin x－2x2)′ ＝(sin x)′－(2x2)′ ＝cos x－4x. (2)y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′ ＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3) ＝12x2－8x＋6x2＋9 ＝18x2－8x＋9. (3)y′＝′ ＝ ＝ H　 命题方向1　?导数的四则运算法则的应用 典例1　求下列函数的导数： (1)y＝(x＋1)2(x－1)； (2)y＝x2sin x； (3)y＝＋＋； (4)y＝xtan x－. [解析]　(1)解法一：y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1. 解法二：y＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1， y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1. (2)y′＝(x2sin x)′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′ ＝2xsin x＋x2cos x. (3)y′＝′＝(x－1＋2·x－2＋3·x－3)′＝－x－2－4x－3－9x－4＝－－－. (4)y′＝′＝′ ＝ ＝ ＝＝tan x＋－. 『规律方法』　1.符合导数运算法则形式特点的函数求导可直接用公式，注意不要记错用混积商的导数运算法则． ①[f(x)g(x)]′≠f ′(x)g′(x)；②′≠. 2．公式[f(x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)的推广为[f1(x)·f2(x)·f3(x)…fn(x)]′＝f1′(x)f2(x)f3(x)…fn(x)＋f1(x)f2′(x)f3(x)f4(x)…fn(x)＋…＋f1(x)f2(x)…fn′(x) 3．较为复杂的求导运算，一般要先将函数化简，再求导． 〔跟踪练习1〕 求下列函数的导数． (1)y＝x·tanx； (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (3)y＝. [解析]　(1)y′＝(x·tanx)′＝′ ＝ ＝ ＝. (2)解法1：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11； 解法2：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11； (3)解法1：y′＝′ ＝ ＝＝； 解法2：∵y＝＝＝1－， ∴y′＝′＝′＝. 命题方向2　?利用导数求参数 典例2　(2019·云南昆明高二调研)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx过点(1,5)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，求f(x)的解析式． [思路分析]　本题主要考查利用导数求解参数问题，观察y＝f′(x)的图象可知y＝f′(x)过点(1,0)、(2,0)，即f′(1)＝0，f′(2)＝0. [解析]　∵f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，且f′(1)＝0、 f′(2)＝0、 f(1)＝5， ∴，解得. ∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2x3－9x2＋12x. 『规律方法』　1.导数的应用中，求导数是一个基本解题环节，应仔细分析函数解析式的结构特征，根据导数公式及 ... ...