中小学教育资源及组卷应用平台 专题11.2 与三角形有关的角 典例体系 一、知识点 1、三角形的内角：三角形的内角和等于。 如图： 2、三角形的外角 （1）三角形的一个外角与相邻的内角互补。 （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 （3）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。＞或＞ 二、考点点拨与训练 考点1：三角形内角和 典例：（2019·河北省初一期末）已知△ABC中，BE平分∠ABC，点P在射线BE上． （1）如图1，若∠ABC＝40°，CP∥AB，求∠BPC的度数； （2）如图2，若∠BAC＝100°，∠PBC＝∠PCA，求∠BPC的度数； （3）若∠ABC＝40°，∠ACB＝30°，直线CP与△ABC的一条边垂直，画出相应图形并求∠BPC的度数． 【答案】（1）∠BPC＝20°；（2）∠BPC=100°；（3）画出相应图形见解析；∠BPC的度数为70°或40°或110°． 【解析】 （1）∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°， ∴∠ABP＝＝20°， ∵CP∥AB， ∴∠BPC＝∠ABP＝20°； （2）∵BE平分∠ABC，∠PBC＝∠PCA ∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCA △ABO中，∠A+∠ABP+∠AOB＝180°， △PCO中，∠BPC+∠PCA+∠POC＝180°， ∵∠ABP=∠PCA, ∠AOB=∠POC ∴∠A＝∠BPC =100° 即∠BPC=100°； （3）①当CP⊥BC时，如图3，则∠BCP＝90°， ∵∠PBC＝20°， ∴∠BPC＝70°； ②当CP⊥AC时，如图4，则∠ACP＝90°， △BCP中，∠BPC＝180°﹣20°﹣30°﹣90°＝40°； ③当CP⊥AB时，延长CP交直线AB于G，如图5，则∠BGC＝90°， ∵∠ABC＝40°， ∴∠BCG＝50° △BPC中，∠BPC＝180°﹣50°﹣20°＝110°； 综上，∠BPC的度数为70°或40°或110°． 方法或规律点拨 本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和等于180°，是解题的关键． 巩固练习 1．（2020·隆昌市知行中学初三月考）如图，直线a∥b，点B在a上，且AB⊥BC，若∠1＝35°，那么∠2等于（ ） A．45° B．50° C．55° D．60° 【答案】C 【解析】 解：∵直线a∥b， ∴∠BAC=∠1＝35°（两直线平行，内错角相等）， 又∵AB⊥BC， ∴∠ABC=90°， ∴ （三角形内角和定理）， ∴（对顶角相等）， 故选：C． 2．（2020·河北省初一月考）一个最小的锐角是50°，这个三角形一定是（ ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】180°﹣50°=130°， 另外两个角的和是130°，最小的内角是50°， 假设另外两个角中还有一个是50°，另一个就是：130°﹣50°=80°， 最大的内角最大只能是80°，所以这个三角形的三个角都是锐角，这个三角形一定是锐角三角形， 故选B． 3．（2020·江阴市云亭中学初一月考）若△ABC内有一个点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，如图1，可构成3个互不重叠的小三角形；若△ABC内有两个点P1、P2，其它条件不变，如图2，可构成5个互不重叠的小三角形：……若△ABC内有n个点，其它条件不变，则构成若干个互不重叠的小三角形，这些小三角形的内角和为（ ） A．n·180° B．（n+2）·180° C．（2n-1）·180° D．（2n+1）·180° 【答案】D 【解析】解：图1中，当△ABC内只有1个点时，可分割成3个互不重叠的小三角形； 图2中，当△ABC内只有2个点时，可分割成5个互不重叠的小三角形； 图3中，当△ABC内只有3个点时，可分割成7个互不重叠的小三角形； 根据以上规律，当△ABC内有n个点（P1，P2，…，Pn）时，可以把△ABC分割成S=2n+1个互不重叠的三角形，所以这些小三角形的内角和为（2n+1）·180°. 4．（2020·广西壮族自治区初三其他）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE,若∠ABC=30°，则∠D为（ ） A．85° B．75° C．60° D．30° 【答案】B 【解析】解：∵AB∥CD， ∴∠C=∠ABC=30°， 又∵CD=CE ... ...
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