1.2.3 反证法学案-2021-2022学年高一上学期数学沪教版2020必修第一册（Word含答案）

第 1 章 集合与逻辑 1.2 常用逻辑用语 1.2.3 反证法 【学习目标】 课程标准 学科素养 1、了解反证法的解题过程与自身特点；2、通过实例归纳总结应用反证法解题的注意事项； 1、数学抽象：理解反证法；2、逻辑推理：会用反证法证明命题； 3、数学运算； 相关的方程、不等式性质的应用 【自主学习】 问题导学：预习教材P19－P20，思考以下问题： 1、反证法的定义；2、反证法的证明步骤；3、反证法的应用； 【知识梳理】 1、反证法的定义 反证法是指“证明某个命题时，首先假设结论β不成立（β为假），然后经过正确的逻辑推理得出已知条件或（已学）定理相矛盾的结论，从而说明“β为假”是不可能发生的，即结论β是正确的；这样的证明方法叫反证法； 【注意】反证法证明数学问题的理解：反证法的理论依据是逻辑规律中的排除律：一个事物或者是A或是，二者必居其一，反证法即证明结论的反面错误；从而结论正确；（2）反证法中的“反设”，这是应用反证法的第一步，也是关键一步；“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件，“反设”是否正确、全面，直接影响下一步的证明，做好“反设”应明确①正确分清题设和结论；②对结论实施正确否定；③对结论否定后，找出其所有情况；（3）反证法可以证明的命题的范围相当广泛.一般常见的如：惟一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等；（4）反证法属“间接解题方法”； 2、反证法证题的基本步骤： （1）假设原命题的结论不成立；（假设） （2）从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪） （3）因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论） 【注意】用反证法证明结论是B的命题；其思路是：假定B不成立，则B的反面成立，然后从B的反面成立的假定出发，利用已知事实、公理、定义、定理、法则、公式等作出一系列正确的推理，最后推出矛盾的结果，若同时承认这个结果与题设条件，则与学过的公理、定理或定义矛盾，这矛盾只能来自“B的反面成立”这个假设，因此B必定成立；可见反证法的步骤是：否定结论→推出矛盾→否定假设→肯定结论，其中推出矛盾是证明的关键。 3、反证法证明数学问题的理解 反证法可以证明的命题的范围相当广泛，一般常见的如：惟一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等。 【注意】1、数学中的一些基础命题都是数学中我们经常运用的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明，正难则反这是应用反证法的原则，即一个命题的结论如果难于直接证明时，可考虑用反证法； （2）另外，宜用反证法证明的题型还有：①一些基本命题、基本定理；②易导出与已知矛盾的命题；③“否定性”命题；④唯一性”命题；⑤“必然性”命题；⑥至多”“至少”类的命题；⑦涉及“无限”结论的命题等等。 【自我尝试】 1、判断（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）反证法可归结为下面的步骤：反设、归谬、存真；(　　) （2）假设欲证的命题是“若A，则B”，我们可以通过否定A来达到肯定B的目的；(　　) （3）“a>b”的反面是“ay或xb，那么>”时，假设的内容是(　　) A．＝　　 B．< C．＝，且< ... ...