第24章 解直角三角形 24.3 锐角三角函数 1.锐角三角函数 第1课时 锐角三角函数 学习目标： 理解并掌握锐角三角函数的定义.（重点） 学会应用锐角三角函数解决问题.（难点） 自主学习 一、知识链接 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管AB，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度BC为35m，那么需要准备多长的水管？ 合作探究 一、探究过程 探究点1：锐角三角函数的定义 【问题】如图，∠BAC为任意给定的一个锐角，B1，B2为射线AB上任意两点，过B1，B2两点分别作AC的垂线B1C1，B2C2，垂足分别为C1，C2，试说明分别相等. 可见，Rt△ABC中，对于锐角∠A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值都是唯一确定的. 我们同样可以发现，对于锐角∠A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边的比值和对边与邻边的比值一样也是唯一确定的. 【定义】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c,BC=a，AC=b,则∠A的正弦、余弦、正切分别是: 它们统称为∠A的_____. 【典例精析】 例1在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求∠A的正弦值、余弦值和正切值． 【归纳总结】正确地画出草图，根据条件将已知角的三角函数值转化为直角三角形中两边的关系，利用勾股定理求出第三边，然后计算出待求角的三角函数值． 【针对训练】 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，BC＝5，那么下列式子错误的是（ ） A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosA＝ 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，求∠B的正弦值、余弦值和正切值． 探究点2：三角函数之间的关系 根据三角函数的定义，我们还可以得出同角三角函数间的关系：sin2A+cos2A=1. 【典例精析】 例2在Rt△ABC中，∠C＝90°，给出下列结论：①sinA＝cosB；②sin2A+cos2A＝1； ③tanB＝；其中正确的是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 例3在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sin2A+sin2B的值． 【针对训练】 3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知sinA＝，则cosB的值为（ ） A． B． C． D． 4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，cosA=，则tanA的值为（ ） A． B． C． D． 5.若tanα?tan32°＝1，则锐角α＝ ． 二、课堂小结 内容 基本图形 正弦 余弦 正切 三角形三角函数之间的关系 sinA=cosB，sinB=cosA，sin2A+cos2A=1，tanA= 当堂检测 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinB等于（ ） A. B． C． D． 第1题图 第2题图 2.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大为原来的100倍,tanA的值（ ） A.扩大为原来的100倍 B.缩小为原来的 C.不变 D.不能确定 3．在△ABC中，∠A＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列选项中不正确的是（ ） A．sinB＝ B．sinC＝ C．cosB＝ D．tanB＝ 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB等于（ ） A． B． C． D． 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则tanA的值为 ． 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知AC＝8，AB＝10，求∠B的三个三角函数值． 7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，AC＝2，求AB的长． 8．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值． 参考答案 自主学习 一、知识链接 解：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴AB=2BC=70m． 合作探究 一、探究过程 【问题】解：∵∠AC1B1=∠AC2B2，∠B1AC1=∠B2AC2， ∴△AB1C1∽△AB2C2.∴,即 【定义】三角函数 【典例精析】 例1 解：∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，∴． ∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． 【针对训练】 1.B 2.解：∵∠C＝90°，AC＝2BC，∴设BC＝x，则AC＝2x，∴AB＝x，∴sinB＝＝＝，cosB＝＝＝，tanB＝＝＝2． 【典例精析】 例2 D 例3 解：Rt ... ...
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