中小学教育资源及组卷应用平台 专题二 数列综合练习 1．（2021·嘉峪关市第一中学高三其他模拟（文））在①，②，③，，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.设数列是公比大于0的等比数列，其前项和为.已知，_____. （1）求数列的通项公式； （2）设，，且数列的前项和为，求. 【解析】（1）若选①，设等比数列的公比为. ，，而 ，解得或. ，，. 若选②，设等比数列的公比为，且， 由可得. ，，即. ，，. 若选③，当时，， 即，也满足， 即数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则. （2）由（1）知， . 2．（2021·全国高三月考）已知等比数列中，，且是和的等差中项.数列满足，且.. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【解析】（1）设等比数列的公比为因为， 所以. 因为是和的等差中项， 所以，即，解得所以. （2）因为，所以为等差数列.因为， 所以公差.故. 所以 3．（2021·重庆垫江县·垫江第五中学校高三月考）已知在数列中，. （1）求数列的通项公式； （2） 设，求的前项和. 【解析】（1）因为，所以 当时， 所以，，所以，，又当时，满足条件，所以； （2）由（1）可知，因为，所以， 所以 所以 4．（2021·全国（理））已知数列，，是数列的前项和，，从①；②；③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【解析】若选①②，由条件可得， 当时，； 当时， 当时符合，所以． 所以， ， 两式相减得 所以，③成立． 若选①③， ， ， 两式相减得， 所以． 当时，， 解得，符合， 所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，②成立． 若选②③， 由条件可得， 当时，； 当时，． 当时符合，所以． ， ， 两式相减得， 解得． 当时，， 解得，符合，所以，①成立． 5．（2021·济南市·山东师范大学附中高三开学考试）设数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 【解析】（1），， ，，， ， ，经检验，也满足. 所以数列的通项公式为 （2）， ，. 6．（2021·嘉峪关市第一中学高三其他模拟（理）） 已知数列中,,其前项和满足,其中,． (1)求证:数列为等差数列,并求其通项公式． (2)设,为数列的前n项和,求的最小值． 【解析】:(1)由可得 即又 ∴数列是首项，公差为1的等差数列 ∴通项公式 综上所述，结论为：数列是等差数列，通项公式． （2）由题（1）知： 数列的前项和为 则 两式相减可得 设 则 在上单调递增 ， 综上所述，的最小值为1． 7．（2021·全国高三月考（文））已知正项数列的前项和为，且满足，，成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）请从以下三个条件中任意选择一个，求数列的前n项和Tn，. 条件Ⅰ：设数列满足；条件Ⅱ：设数列满足；条件Ⅲ：设数列满足. 【解析】（1）因为，，成等差数列， 所以. 当时，， 两式相减得. 因为该数列是正项数列， 所以， 即， 所以数列是公差为的等差数列， 且当时，，得， 所以. （2）若选择条件Ⅰ：数列满足， 所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， . 所以. 若选择条件Ⅱ：数列满足， 利用乘公比错位相减法，可得①， ②， ①-②得， 则. 若选择条件Ⅲ：数列满足， 则. 8．（2021·河南（理））已知数列、满足：且，． （1）求数列和的通项公式； （2）数列满足：，其中，若数列的前项和为，求． 【解析】（1）由，令，得， 是以为首项，以为公比的等比数列． ，即． ． （2）由题意知， ① ② ①-②得，， ． 9．（2021·东城区·北京二中高三月考）设数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为． （1）给出数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离； （2）设为满足递推关系的所有数列的集合，和为中的两个元素，且项数均为，若，，和的距离小于4032， ... ...
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