中小学教育资源及组卷应用平台 专题六 导数综合练习 1．（2021·浙江舟山市·舟山中学高三月考）已知函数 （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若在恒成立，求正实数的取值范围． 【解析】（1）定义域为， ， 令可得 当即时，对于恒成立， 所以在上单调递增， 当即时，由可得：， 由可得：或， 由可得：， 所以在和上单调递增， 在上单调递减， 综上所述：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为和 单调递减区间为. （2）若函数有两个极值点， 由（1）可知：， 由可得， 则，，， 由，可得， 所以不等式恒成立，等价于恒成立， ， 令， 则， 因为，所以，，， 因为，所以， 所以在上单调递减， 所以， 即， 故实数的取值范围为； （3）若在恒成立， 即对于恒成立； 令，，， 则， 则， 令，， ， 令，则， 所以在上单调递减，， 因为，所以， 所以在上单调递减， 即在上单调递减， 当时，，对于恒成立， 所以在上单调递减，所以恒成立，符合题意； 当时，存在实数，使得函数在上单调递增， 此时，不符合题意， 综上所述：正实数的取值范围为. 2．（2021·山东济宁市·济宁一中高三月考）已知函数，若存在．（），使得． （1）求实数的取值范围； （2）证明：． 【解析】（1）令，则， ∴当时，；当时，， ∴在上单调递增，上单调递减，且， 由题设，有两个不同的零点，故，即， 若，则当时，，故在上无零点， 而在上单调递增，故在上至多有一个零点，故不符合． 若，则，， 令， ∵，故， ∴为（0，1）上的增函数，故，即， 又在上单调递增，在上单调递减，且， 结合零点存在定理可知有两个不同的零点， 故，即的取值范围是（0，1）． （2）证明由（1）知，，∴， 要证成立，只需证， ∵在上单调递增，故只需证， 即证， 令，只需证（），即证（）， 令（）． ∵，∴在上单调递减， ∴，故． 3．（2021·山东济南历城二中高三模拟）已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意，不等式恒成立，求正整数的最小值. 【解析】（1）当时，，则， 切线的斜率为，又， 所求切线的方程为，即为. （2）当时，，整理可得， 令，则 令，则， 由，解得， 当时，，函数单调递减， ， 在区间上存在一个零点， 此时，即， 当时，，则，函数单调递增， 当时，，即，函数单调递减， 有极大值，即最大值为， 则，，正整数的最小值是. 4．（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若函数 存在极值，且这些极值的和大于，求实数的取值范围． 【解析】（1）的定义城为， 当时，，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的减区间为，增区间为． （2）存在极值，，． 由得，所以在单调递增， 由得，所以在单调递减， 若不单调，此时，即， 所以有，有， 所以方程分别在，上有根，， 即的两个根为，，且， 所以，，且，为的两个极值， 所以依题意有 ， 所以． 5．（2021·仪征市精诚高级中学高三月考）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）证明不等式恒成立． 【解析】（1） 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，得到， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）设函数， 则，可知在上单调递增． 又由，知，在上有唯一实数根，且， 则，即． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，结合，知， 所以， 则，即不等式恒成立． 6．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 所以， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， ... ...
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