新高考高中数学复习专题20 立体几何中的平行与垂直问题（学生版+教师版）（word含答案解析）

专题20 立体几何中的平行与垂直问题 一、题型选讲 题型一 、线面平行与垂直 知识点拨：证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。直线与平面垂直关键是找两条相交直线 例1、(2019南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP. 求证：(1)MN∥平面PBC； MD⊥平面PAB. 【证明】(1)在四棱锥P－ABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点，所以MN∥AD.(2分) 又底面ABCD是矩形，所以BC∥AD.所以MN∥BC.(4分) 又BC?平面PBC，MN?平面PBC，所以MN∥平面PBC. (6分) (2)因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB?底面ABCD，所以AB⊥侧面PAD.(8分) 又MD?侧面PAD，所以AB⊥MD.(10分) 因为DA＝DP，又M为AP的中点，从而MD⊥PA. (12分) 又PA，AB在平面PAB内，PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB.(14分) 例2、(2019扬州期末）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点． (1) 求证：EF∥平面ABC； (2) 求证：BB1⊥AC. 规范解答 (1)在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B，四边形BB1C1C均为平行四边形，E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点，所以E，F分别是AB1，CB1的中点，所以EF∥AC.(4分) 因为EF?平面ABC，AC?平面ABC，所以EF∥平面ABC.(8分) (2)因为四边形AA1B1B为矩形，所以BB1⊥AB. 因为平面AA1B1B⊥平面ABC，且平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，BB1?平面AA1B1B， 所以BB1⊥平面ABC.(12分) 因为AC?平面ABC，所以BB1⊥AC.(14分) 例3、(2019南京、盐城二模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1和BC的中点． 求证：(1)DE∥平面ACC1A1； (2)AE⊥平面BCC1B1. 规范解答 (1)连结A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1且AA1＝BB1，所以四边形AA1B1B是平行四边形． 又因为D是AB1的中点，所以D也是BA1的中点．(2分) 在△BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，所以DE∥A1C. 又因为DE?平面ACC1A1，A1C?平面ACC1A1， 所以DE∥平面ACC1A1.(6分) (2)由(1)知DE∥A1C，因为A1C⊥BC1，所以BC1⊥DE.(8分) 又因为BC1⊥AB1，AB1∩DE＝D，AB1，DE?平面ADE，所以BC1⊥平面ADE. 又因为AE?平在ADE，所以AE⊥BC1.(10分) 在△ABC中，AB＝AC，E是BC的中点，所以AE⊥BC.(12分) 因为AE⊥BC1，AE⊥BC，BC1∩BC＝B，BC1，BC?平面BCC1B1，所以AE⊥平面BCC1B1. (14分) 例4、(2019苏锡常镇调研）如图，三棱锥DABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分别为BD，CD的中点．求证： (1) EF∥平面ABC； (2) BD⊥平面ACE. . 规范解答 (1)三棱锥DABC中，因为E为DB的中点，F为DC的中点，所以EF∥BC，(3分) 因为BC?平面ABC，EF?平面ABC， 所以EF∥平面ABC.(6分) (2)因为AC⊥BC，AC⊥DC，BC∩DC＝C，BC，DC?平面BCD 所以AC⊥平面BCD，(8分) 因为BD?平面BCD，所以AC⊥BD，(10分) 因为DC＝BC，E为BD的中点，所以CE⊥BD，(12分) 因为AC∩CE＝C，AC，CE?平面ACE，所以BD⊥平面ACE.(14分) 例5、(2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1.设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E. 求证：(1) DE∥平面ABB1A1； (2) BC1⊥平面A1B1C. 规范解答 (1)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1A1为平行四边形．又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB.(3分) 又AB?平面ABB1A1，DE?平面ABB1A1， 所以DE∥平面ABB1A1.(6分) (2)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以B ... ...