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课件网) 二项式定理 知识梳理 1.二项式定理： 2.二项展开式的通项： k＝0，1，2，…，n. 3.二项式系数的性质： （1）与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. （2）二项式系数的前半部分是递增的，后半部分是递减的，且在中间取得最大值.当n为偶数时，正中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，正中间两项的二项式系数相等且为最大. （3）所有二项式系数之和等于2n， 所有奇数项的二项式系数之和与所有偶数项的二项式系数之和相等，且都等于 2n－1，即 4.杨辉三角： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ……………………………………… （1）每行两端的数都是1； （2）每行与两端“等距离”的两数相等； （3）在相邻的两行中，除1以外的每一个数 都等于它“肩上”两个数的和，等等. 拓展延伸 1.二项式定理是以公式的形式给出的一个恒等式，其中n是正整数，a，b可以任意取值，也可以是代数式. 2.二项展开式在结构上有如下一些基本特征： （1）共有n＋1项； （2）字母a的最高次数为n且按降幂排列，字母b的最高次数为n且按升幂排列； （3）各项中a与b的指数幂之和都是n； （4）各项的二项式系数依次为： 3.二项展开式中各项的系数与二项式系数是两个不同概念，各项的系数与a，b的取值有关，各项的二项式系数与a，b的取值无关，二项式系数的性质不能类推到二项展开式的系数. 4.(a－b)n的二项展开式的通项是. 5.在(a＋bx)n的展开式中，令x＝1，可求得各项的系数之和.令a＝b＝1，可得 这是一种赋值的方法. 考点分析 考点1 利用通项公式解决二项展开式中的问题 例1 已知 展开式中前三项 的系数成等差数列，求展开式中的所有有理项. 例2 已知 展开式中的二项 式系数之和比 展开式中的二项 式系数之和大992，在 的展开式中，求： （1）二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项. 例3 已知 的展开式中x3的 系数为 ，求a的值. 【解题要点】 用公式确定通项的系数与幂指数→用方程思想求未知数的值→用待定系数法求项数. 考点2 求展开式的系数和 例4 设 求（1） ； （2） . 例5 设1＋x＋x2＋x3＋…＋x9＝ 求 的值. 【解题要点】 利用赋值思想求系数和与常数项→通过比较求最高次项系数. 考点3 二项式定理的应用 例6 设n∈N，n≥2，求证： （1） ； （2） . 例7 求下列各数的近似值(精确到 0.001): （1）1.028； （2）0.9986. 例8 求下列各式的和： (1) (2) 【解题要点】 利用二项式定理展开指数式→适当放缩变形→逆用二项式定理求组合数的和→构造二项恒等式比较系数求组合数的和.
