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课件网) 排列的综合应用 类型一 含有“在”与“不在”约束条件的排列问题 【典型例题】 1.(2013·长春高二检测)某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，那么共有_____种不同的排课程表的方法. 2.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比 赛，3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员中 选2名安排在第二、四位置上，那么不同的出场安排有_____ 种. 3.用0到9这十个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶 数？ 【解题探究】 1.题1的约束条件是什么？应如何解决？ 2.题2的约束条件是什么？应如何解决？ 3.题3的约束条件是什么？应如何解决？ 探究提示： 1.题1的约束条件是“第一节不排体育”；可以按第一节优先安排，分两步计数，也可以用间接法求解. 2.题2的约束条件是：3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置上，解决方法：先安排一、三、五位置，再安排二、四位置. 3.约束条件是①没有重复数字，②0不在首位，③末位为偶数，可按特殊元素优先安排或特殊位置优先安排或间接法求解. 【解析】1.方法一：第一节排其他课有 种，其他5节课有 种，所以有 (种). 方法二(间接法)：六门课总的排法是 种，其中不符合要求 为体育排在第一节，有 种排法，因此符合条件的排法应是 (种). 答案：600 2.分两步完成：第一步，安排三名主力队员，有 种；第二 步安排另2名队员，有 种，所以共有 (种). 答案：252 3.方法一：当个位数字排“0”时，千位，百位，十位上可以 从余下的9个数字中任选3个来排列，故有 (个)； 当个位上从“2，4，6，8”中任选1个来排时，则千位上从余 下的8个非零数字中任意选1个，百位、十位上再从余下的8个 数字中任选2个来排，按分步乘法计数原理有 (个). 所以没有重复数字的四位偶数有 (个). 方法二：当个位数字排“0”时，同方法一有 个；当个位 数字是“2，4，6，8”之一时，千位、百位、十位上可从余 下9个数字中任选3个的排列中减去千位数是“0”的排列数得 (个).所以没有重复数字的四位偶数有 (个). 方法三：千位数上从“1，3，5，7，9”中任选一个，个位数 上从“0，2，4，6，8”中任选一个，百位、十位上从余下的 8个数字中任选2个排列有 (个)； 千位数上从“2，4，6，8”中任选一个，个位数上从余下的4 个偶数中任选1个(包括0在内)，百位、十位从余下的8个数字 中任选2个排列，有 (个). 所以没有重复数字的四位偶数有 (个). 方法四：将没有重复数字的四位数划分为两类：四位奇数和 四位偶数. 没有重复数字的四位数有 (个)， 其中四位奇数有 (个). 所以没有重复数字的四位偶数有 (个). 【互动探究】在题1中，若将约束条件变为“第一节不排体 育，第六节不排数学”，则结果如何？ 【解析】六门课总的排法是 种，其中不符合要求的可分 为：体育排在第一节有 种排法，如图中Ⅰ；数学排在最 后一节有 种排法，如图中Ⅱ；但这两种排法，都包括体 育排在第一节、数学排在 最后一节，如图中Ⅲ，这 种情况有 种排法，因此 符合条件的排法应是： (种). 【拓展提升】含有“在”与“不在”约束条件排列问题的求解原则和常用方法 (1)求解原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的原则主要是按“优先”原则，即按优先排特殊元素或优先满足特殊位子的分步计数，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论． (2)常用方法：①直接法：直接根据约束条件分步或分类计数；②间接法：问题的正面分的情况较多，或计算较复 ... ...
