24.2.2 第2课时 切线的判定与性质 同步导学案（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 第二十四章 圆 24.2.2 直线和圆的位置关系 第2课时 切线的判定与性质 学习目标：1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线. 2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理. 3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题. 重点：理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理. 难点：能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题. 一、知识链接 1.直线和圆的位置关系有哪几种(画图表示)？ 2.如何用数量关系来判断直线和圆的位置关系呢？ 二、要点探究 探究点1：切线的判定定理 问题1 已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？ 思考 圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系？二者位置有什么关系？ 要点归纳：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 判一判 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ 方法总结：在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 要点归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线； 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； 3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 典例精析 例1 如图，线段AB是☉O上的直径，直线AC与AB交于点A，∠ABC=45°，且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线. 方法总结：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可. 例2 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB．求证：直线AB是⊙O的切线． 方法总结：当已知直线过圆上的一点时，连接圆心和该点得到圆的半径，然后证明直线与这条半径垂直，即可得出已知直线为圆的切线.21·cn·jy·com 例3 如图，在Rt△ABC 中，∠AB C =90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC 是⊙O 的切线．【来源：21·世纪·教育·网】 方法总结：当未提及直线与圆有公共点时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径，即可得出已知直线为圆的切线.【出处：21教育名师】 要点归纳： 证切线时辅助线的添加方法：(1)有交点，连半径，证垂直；(2)无交点，作垂直，证半径. 探究点2：切线的性质定理 问题2 如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？ 要点归纳：切线性质———圆的切线垂直于经过切点的半径． 思考 如何证明切线性质定理？ 例4 如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，连接AB，若∠B=25°，求∠P的度数. 练一练 1.如图：在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与⊙O相切于点B，若∠ABN=30°，则∠AOB= . 第1题图 第2题图 2.如图AB为⊙O的直径，D为AB延长线上一点，DC与⊙O相切于点C，∠DAC=30°，若⊙O的半径长1cm，则CD= cm.2·1·c·n·j·y 方法总结：利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.【版权所有：21教育】 例5 如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC的中点，腰AB 与⊙O相切于点D．求证：AC 是⊙O 的切线．21教育名师原创作品 要点归纳： 有切线时常用辅助线添加方法：见切点，连半径，得垂直. 切线的其他重要结论： （1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 3、课堂小结 切线的判定与性质 切线的判定方法 定义法：1个公共点，则相切；数量关系法：d=r，则相切；判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的性质 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 常用辅助线添加方法 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直；②无公共点，作垂 ... ...