数学 均值不等式 被称为均值不等式。 ·即调和平均数不超过几何平均数，几何 平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为 “调几算方 ”。 其中： ，被称为调和平均数。 ，被称为几何平均数。 ，被称为算术平均数。 ，被称为平方平均数。 一般形式 设函数 （当 r不等于 0 时）； （当 r=0 时），有 时， 。 可以注意到， Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即 。 特例 ⑴对实数 a,b，有 （当且仅当 a=b 时取“=号”）， （当且仅 当 a=-b 时取 “=号”） ⑵对非负实数 a,b，有 ，即 ⑶对非负实数 a,b，有 ⑷对实数 a,b，有 ⑸对非负实数 a,b，有 ⑹对实数 a,b，有 ⑺对实数 a,b,c，有 ⑻对非负数 a,b，有 ⑼对非负数 a,b,c，有 在几个特例中，最著名的当属算术 —几何均值不等式（ AM-GM 不等式）： 当 n=2 时，上式即： 当且仅当 时，等号成立。 根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即 。 排序不等式 基本形式： 排序不等式的证明 要证 只需证 根据基本不等式 只需证 ∴原结论正确 棣莫弗定理 设两个复数（用三角形式表示） ，则： 复数乘方公式： . 圆排列 定义 从 n 个不同元素中不重复地取出 m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这 n 个不同 元素的圆排列。 如果一个 m-圆排列旋转可以得到另一个 m-圆排列， 则认为这两个圆排列相 同。 计算公式 n 个不同元素的 m-圆排列个数 N 为： 特别地，当 m=n 时， n 个不同元素作成的圆排列总数 N 为： 。 费马小定理 费马小定理 (Fermat Theory) 是数论中的一个重要定理，其内容为： 假如 p 是质数，且 (a,p)=1 ，那么 a(p- 1)≡1（mod p ）。即：假如 a 是整数， p 是质数，且 a,p 互质 (即两者只 有一个公约数 1)，那么 a 的 (p-1)次方除以 p 的余数恒等于 1。 组合恒等式 组合数 C(k,n) 的定义：从 n 个不同元素中选取 k 个进行组合的个数。 基本的组合恒等式 nC(k,n)=kC(k-1,n-1) C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m) ∑C(i,n)=2^n ∑ [(-1)^i]*C(i,n)=0 C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n) （这个性质叫组合的【聚合性】） C(k,n)+C(k,n+1)+ +C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1) -C(k+1,n) C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p- 2,m)+ +C(p -1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)= C(p,m+n) 韦达定理 逆定理 如果两数 α和 β满足如下关系： α+β= ，α·β=，那么这两个数 α和 β是方程 的根。 通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。 [5] 推广定理 韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元 n 次方程 根与系数的关系。 定理： 设 （ i=1、2、3、 n）是方程： 的 n 个根，记 k 为整数），则有： 。 [ 实系数方程虚根成对定理： 实系数一元 n 次方程的虚根成对出现，即若 z=a+bi(b ≠0)是方程的一个根，则 =a-bi 也 是一个根。 无穷递降法 无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为： 假设方程有解，并设 X 为最小的解。 从 X 推出一个更小的解 Y。 从而与 X 的最小性相矛盾。所以，方程无解。 孙子定理 又称中国剩余定理，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组： 有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。 中国剩余定理说明： 假设整数 m1,m2, ... ,mn 两两互质，则对任意的整数： a1,a2, ... ,an ， 方程组 有解，并且通解可以用如下方式构造得到： 设 是整数 m1,m2, ... ,mn 的乘积，并设 是除了 mi 以外的 n- 1 个整数的乘积。 设 为 模 的数论倒数 ：方程组 的通解 形式 ： 在模 的意义下，方程组 只有一个解： 同余 同余公式也有许多我们常见的定律 ,比如相等律 ,结合律 ,交换律 ,传递律 .如下面的表 示: 1)a≡a(mod d) 2)a≡b(mod d) →b≡a(mod d) 3)(a ≡b(mod d),b ≡c(mod d)) ... ...
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