中小学教育资源及组卷应用平台 专题五 平面向量与复数 05 复数 考纲对本模块内容的具体要求如下： 复数是高考的必考点，属于简单题，为5分，一般出现在选择题前2道，必拿分，注意计算的准确性. 1．复数的概念 （1）理解复数的基本概念.（2）理解复数相等的充要条件.（3）了解复数的代数表示法及其几何意义. 2．复数的四则运算 （1）会进行复数代数形式的四则运算.（2）了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 数学抽象：1.能从教材实例中了解引进虚数单位i的必要性以及数集扩充的过程. 2.了解复数的代数形式的四则运算的意义、理解共轭复数的概念. 数学运算：会进行复数代数形式的四则运算. 逻辑推理：1.能够掌握复数代数形式的表示方法以及理解两复数相等的充要条件. 2.理解复数代数形式的四则运算法则. 一、复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a＋bi(a，b ∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝. 二、复数的几何意义 复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量＝(a，b)． 三、复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．21教育网 [常用结论] 1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. 2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)． 3．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n. 考点一 复数的有关概念 （1）（2021·江苏宿迁市·高三期中）已知虚数（i是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ）21·cn·jy·com A． B．2或-1 C． D． 【答案】A 【解析】因为虚数（i是虚数单位）的实部与虚部相等， 所以，解得.故选：A. （2）(多选)若复数，其中为虚数单位，则下列结论不正确的是（ ） A．的虚部为 B． C．的共轭复数为 D．为纯虚数 【答案】ABC 【解析】由题意，复数， 可得的虚部为，所以错误； 由，所以错误； 由共轭复数的概念，可得，所以错误； 由，可得为纯虚数，所以正确，故选：ABC 【规律方法】 解决复数概念问题的方法及注意事项 （1）复数的分类及对应点的位置问题都可以转 化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程 不等式 组即可. （2）解题时一定要先看复数是否为a＋bi a，b∈R 的形式，以确定实部和虚部. 【跟踪练习】（1）（2021·广东高三月考）已知，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由复数运算法则及虚部概念得解. 【详解】 因为， 所以的虚部为. 故选: D. （2）如果复数是纯虚数，那么实数m等于( ) A．－1 B．0 C．0或1 D．0或－1 【答案】 D 【解析】＝＝，因为此复数为纯虚数，所以解得m＝－1或0，故选D. 考点二 复数的代数运算 （1）（2021·安庆市白泽湖中学高三期中）若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由复数的四则运算可得， 因此，.故选：A. （2）（2021·皮山县高级中学高三期中（理））复数的共扼复数的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 所以其共轭复数为，其虚部为故选：B （ ... ...
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