第7讲 基本不等式 一、知识导图 二、知识导入 问题1：若a，b∈R，则代数式a2＋b2与2ab有何大小关系？ 提示：∵(a2＋b2)－2ab＝(a－b)2≥0， ∴a2＋b2≥2ab. 问题2：上述结论中，等号何时成立？ 提示：当且仅当a＝b时成立． 问题3：若以，分别代替问题1中的a，b，可得出什么结论？ 提示：a＋b≥2. 问题4：问题3的结论中，等何时成立？ 提示：当且仅当a＝b时成立． 三、知识讲解 基本概念 1．重要不等式 当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．基本不等式 (1)有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数． (2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立． (3)变形：ab≤2，a＋b≥2(其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立)． 四、例题解析 例1：已知m，n＞0，且m＋n＝16，求mn的最大值． 【答案】32. 【解析】∵m，n＞0且m＋n＝16，所以由基本不等式可得mn≤2＝2＝64， 当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64. ∴mn的最大值为32. 例2：某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 【答案】B 【解析】若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时取等号，故选B. 例3：已知，，，则的最小值是（ ） A． B．4 C． D．5 :【答案】C 【解析】∵，∴， ∴，∵，， ∴，当且仅当，且， 即，时取得等号，∴的最小值是，故选C． 例4：当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴． ∴．故选D． 例5：已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证： ＋＋>a＋b＋c. 【解析】证明：∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴＋≥2 ＝2c， ＋≥2 ＝2a，＋≥2 ＝2b. 又a，b，c不全相等，故上述等号至少有一个不成立． ∴＋＋＞a＋b＋c. 五、课堂练习 A级 1.．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( ) A．80 B．77 C．81 D．82 【答案】C 【解析】∵x>0，y>0，∴≥， 即xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81. 2.已知，则函数的最小值为_____． 【答案】-2. 【解析】∵，∴． 3. 已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( ) A. B．4 C. D．5 【答案】C 【解析】 ∵a＋b＝2，∴＝1.∴＋＝＝＋≥＋2 ＝.，故y＝＋的最小值为. B级 4.若，，且，则下列不等式中恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取，，可验证A、B、C均不正确，故选D． 5.已知,且,则的最小值为（ ） A． B．6 C． D．12 【答案】B 【解析】,当且仅当a=2,b=1时,等号成立．故选B． 6.已知均为正实数，若与的等差中项为2，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题当且仅当时“”成立，此时； 又，作出可行域如下图，当直线分别在点O及点A时，有最小值0及最大值4，故的取值范围为. C级 7.已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为_____． 【答案】2 【解析】依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值为2.又λ≥恒成立，因此有λ≥2，即λ的最小值为2. 8.已知，则的最小值为_____． 【答案】18. 【解析】∵，∴，． ∴，∴ (当且仅当时取“”) ．(当且仅当时取“”) 9. 已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1. 求证：≥8. 【解析】证明 ∵a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1， ∴－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥. 由于上述三个不等式 ... ...
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