教材要点 学科素养 学考 高考 考法指津 高考考向 1.平面向量基本定理 数学抽象 水平1 水平2 1.向量有三种表示方法：几何表示法、字母表示法、坐标表示法 2.向量的坐标运算是一种代数运算，其加减法及数乘运算的实质是同名坐标之间的运算。 【考查内容】1.平面向量基本定理。 2.平面向量的坐标运算和平面向量共线的坐标表示。 【考查题型】选择题、填空题 【分值情况】5分 2.基底、向量夹角的概念 数学抽象 水平1 水平1 3.向量的坐标表示 数学运算 水平1 水平2 4.平面向量共线的坐标表示 数学运算 水平1 水平2 高中数学，同步讲义 必修四 第二章 平面向量 第三讲 平面向量的基本定理及其坐标表示 知识点一 平面向量基本定理 思考1 如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？ 答案 能．依据是数乘向量和平行四边形法则． 思考2 如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？ 答案 不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示． 思考3 若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何关系？ 答案 由已知得λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2. ∵e1与e2不共线，∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0， ∴λ1＝μ1，λ2＝μ2. 梳理 (1)平面向量基本定理 如果e1，e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2. (2)基底 把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式． 知识点二 直线的向量参数方程式 思考1 什么是直线的向量参数方程？ 答案 若P在直线AB上(或P，A，B共线)，则一定存在实数t，使得＝(1－t)＋t. 思考2 直线的向量参数方程式有什么用途？ 答案 利用直线的向量参数方程可证明三点共线． 梳理 (1)直线的向量参数方程式 已知A，B是直线l上任意两点，O是l外一点(如图所示)， 对直线l上任意一点P，存在唯一的实数t满足向量等式＝(1－t)＋t，反之，对每一个实数t，在直线l上都有唯一的一个点P与之对应．向量等式＝(1－t)＋t叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数． (2)线段中点的向量表达式 在向量等式＝(1－t)＋t中，若t＝，则点P是AB的中点，且＝(＋)，这是线段AB的中点的向量表达式． 知识点三 平面向量的正交分解 思考 如果向量a与b的基线互相垂直，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？ 答案 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底． 梳理 如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解． 知识点四 平面向量的坐标表示 思考1 如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a 答案 a＝2i＋2j. 思考2 在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1,1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1,1)，则向量a的位置确定了吗？ 答案 对于A点，若给定坐标为A(1,1)，则A点位置确定．对于向量a，给定a的坐标为a＝(1,1)，此时给出了a的方向和大小，但因为向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关，所以不确定． 梳理 (1)基底：在直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底{e1，e2}．这个基底也叫做直角坐标系xOy的基底． (2)坐标分量：在坐标平面xOy内，任作一向量a(用有向线段表示)，由平面向量基本定理可知，存在 ... ...
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