第6讲 线性规划 知识导图 知识导入 某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不少于对项目乙投资的，且对每个项目的投资不能低于5万元． 问题1：设投资甲、乙两个项目的资金分别为x，y万元，那么x，y应满足什么条件？ 提示： 问题2：若公司对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，设该公司所获利润为z万元，那么z与x，y有何关系？ 提示：z＝0.4x＋0.6y. 问题3：x，y取值对利润z有无影响？ 提示：有． 三、知识讲解 知识点1 基本概念 线性规划中的基本概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的不等式组 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 知识点2 线性目标函数最值 线性目标函数的最值 线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－x＋，它表示斜率为－，在y轴上的截距是的一条直线，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值； 当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值． 例题解析 例1：画出下列不等式(组)表示的平面区域: 【答案】略 【解析】 例2：若不等式组，表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】先画出和表示的区域，再确定表示的区域． 由图知：． 例3：设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为 A.7 B.8 C.10 D.12 【答案】D 【解析】根据线性约束条件画出图形，得到交点坐标分别为(-2,2),(-2,-1),(0,4),(5,-1)四个交点坐标分别代入可得最大值为12. 故选D 例4：若实数x，y满足则的取值范围为_____． :【答案】[2，＋∞) 【解析】由作出可行域， 如图中阴影部分所示． z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率， 因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在)． 由得B(1，2)， 所以kOB＝＝2，即zmin＝2， 所以z的取值范围是[2，＋∞)． . 例5：已知实数x，y满足不等式组则(x－3)2＋(y＋2)2的最小值为_____． 【答案】13 【解析】 画出不等式组表示的平面区域(图略)， 易知(x－3)2＋(y＋2)2表示可行域内的点(x，y)与(3，－2)两点间距离的平方，通过数形结合可知，当(x，y)为直线x＋y＝2与y＝1的交点(1，1)时，(x－3)2＋(y＋2)2取得最小值，最小值为13. 课堂练习 A级 1.已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为_____． 【答案】(－7，24) 【解析】根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0， 即(a＋7)(a－24)<0，解得－7
