2021-2022学年高中数学新人教A版必修2 第三章直线与方程3.2.3直线的一般式方程 学案

3.2.3　直线的一般式方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握直线的一般式方程．(重点)2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(重点、难点)3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．(难点、易混点) 通过学习直线五种形式的方程相互转化，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学学科素养． 直线的一般式方程 (1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． (2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义： ①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)； ②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率． 思考：当A＝0或B＝0或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？ [提示]　(1)若A＝0，则y＝－，表示与y轴垂直的一条直线． (2)若B＝0，则x＝－，表示与x轴垂直的一条直线． (3)若C＝0，则Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线． 1．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　) A．30°　　　B．60°　　　C．150°　　　D．120° C　[直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C.] 2．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　) A. A≠0 B. B≠0 C. A·B≠0 D. A2＋B2≠0 D　[方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0. 故选D. ] 3．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为_____． 2x－y＋1＝0　[由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0.] 4．过P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线的一般式方程是_____． 3x＋2y－6＝0　[由截距式得，所求直线的方程为＋＝1，即3x＋2y－6＝0.] 直线的一般式方程 【例1】　根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式． (1)斜率是－，经过点A(8，－2)； (2)经过点B(4，2)，平行于x轴； (3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3； (4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4). [解]　(1)由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)， 即x＋2y－4＝0. (2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0. (3)由截距式得＋＝1， 即2x－y－3＝0. (4)由两点式得＝， 即x＋y－1＝0. 1．求直线的一般式方程的策略 (1)首先选择不同的形式求出直线方程，再整理成Ax＋By＋C＝0的形式． (2)直线Ax＋By＋C＝0中虽然参数含有三个，但其实只需两个即可：或点与斜率，或斜率和截距，或两个截距等． 2．直线方程的几种形式的转化 提醒：在利用直线方程的四种特殊形式时，一定要注意其适用的前提条件． 1．(1)下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是(　　) A．3x＋4y＋7＝0　　 B．4x＋3y＋7＝0 C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0 (2)直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于(　　) A．　　　B．－5 C．　　　D．－3 (1)B　(2)D　[(1)将一般式化为斜截式，斜率为－的有：B、C两项． 又y＝－x＋14过点(0，14)，即直线过第一象限，所以只有B项正确． (2)令y＝0，则x＝－3.] 由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直 【例2】　(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值； (2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？ [解]　法一：(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0， l2：mx＋3y－2＝0知： ①当m＝0时，显然l1与l2不平行． ②当m≠0时，l1∥l2，需＝≠. 解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3. (2)由题意知，直线l1⊥l2. ①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直． ②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直． ③若1－a≠0且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－. 当l1⊥l2时，k1·k2＝－1， 即·＝－ ... ...