双鸭山市2021-2022学年上学期期中考试 高二数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题5分，共60分） 1.直线的倾斜角是 （ ） A．30° B．45° C．60° D．150° 2.抛物线的准线方程为 （ ） A． B． C． D． 3.已知椭圆的两个焦点分别为,,是椭圆上一点,且,则的面积等于 （ ） A. B. C. D. 4.平面直角坐标系中,直线与圆相交于,两点,则弦的长等于A． B． C. D．1 （ ） 5.空间四边形中，，，，且，，则 （ ） A. B． C． D． 6.已知直线,则是的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.已知椭圆,过点的直线交椭圆于、两点,若为的中点，则直线的方程为 （ ） A． B． C． D． 8.在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为 （ ） A． B． C． D． 9.如图，已知抛物线C：,边长为1的等边三角形，为坐标原点，轴，则以为顶点且过的抛物线方程为（ ） A． B． C． D． 10.椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，轴，，则椭圆的离心率为 （ ） A． B．2 C． D． 11.已知是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，点为圆 上一点，则的最小值为 （ ） A． B． C． D． 12.已知、为椭圆和双曲线的公共焦点，为其一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 （ ） A. B． C． D． 二、填空题（每小题5分，共20分） 13.双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为_____. 14.已知圆圆动圆和圆相内切，和圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是_____. 15.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，若则的面积为_____；延长交双曲线的右支于点，则的面积为_____. 16.已知椭圆直线过椭圆的左焦点且交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，则的值为_____；取值范围为_____. 三、解答题（共6小题，第17题10分，第18-22题每小题12分，共80分.） 17.已知圆是以点为圆心，且过点的圆. （1）求圆的标准方程； （2）若点的坐标为，求过点的圆的切线方程. 18.如图所示，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19.已知椭圆的两焦点分别为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程; （2）已知过点且斜率为1的直线交椭圆于两点,求的面积． 20.已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离． （1）试判断点的轨迹的形状，并写出其方程； （2）点在曲线C上，若点的坐标为,求的最小值； （3）过作直线与曲线交于两点（点在第一象限）,若，求弦的长度. 21.等边三角形的边长为3，点、分别是边、上的点，且满足（如图1）．将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结、（如图2）． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 22.在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆C：＋ ＝1的上、下顶点分别为点在椭圆上且异于点直线与直线分别交于点 （1）设直线的斜率分别为，判断是否为定值？请证明你的结论； （2）求线段长的最小值； （3）当点运动时，以为直径的圆是否经过轴上的定点？请证明你的结论． 高二数学期中考试试题答案 1.C 2.C 3.B 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D 9.D 10.A 11.A 12.C 13. 14. 15. 16. ; 17.（1）圆C的方程化为标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1， ∴圆心坐标为（2，3），半径r＝1； （2）①当切线斜率存在时，设切线方程为：y﹣5＝k（x﹣3）， 即：y﹣kx+3k﹣5＝0，圆心（2，3）到切线距离d1，解得：k， ∴切线方程为：3x﹣4y+11＝0， ②当切线斜率不存在时，切线方程为：x＝3， ∴所求切线方程为：x＝3或3x﹣4y+11＝0. 18.（1）证明：依题意，以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方 ... ...
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