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课件网) 直线与平面垂直的判定 一、直线与平面垂直的定义 如果一条直线 l 和一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 和平面α互相垂直，记作 l ⊥α。（如图） 直线 l 叫做平面α的垂线。 平面α叫做直线 l 的垂面。 直线 l 和平面α的交点叫做垂足。 α P l 注：画直线与水平平面垂直时，要把直线画成和表 示平面的平行四边形横边垂直。 二、直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 三、线面垂直判定定理的证明 已知：m α，n α，m ∩ n = B，l ⊥ m， l ⊥ n。 求证： l ⊥α。 α m n B l α m n B l l α m n B l l α m n g B l α m n g B g l α m n B g A A’ AB=A’B l α m n B g A A’ AB=A’B l α m n B g A A’ AB=A’B l α m n B g A A’ l α m n g A B A’ C D E l α m n g A B C D A’ E l α m n g A B C D A’ E l ⊥m l α m A B C A’ l ⊥m l α m A B C A’ l ⊥m AC=A’C l α m n g A B C D A’ E AD=A’D l α m n g A B C D A’ E CD=CD l α m n g A B C D A’ E △ACD≌△A’CD l α m n g A B C D A’ E ∠ACE=∠A’CE l α m n g A B C D A’ E AC=A’C CE=CE l α m n g A B C D A’ E △ACE≌△A’CE l α m n g A B C D A’ E AE=A’E l α m n g A B C D A’ E AE=A’E AB=A’B l α g A B A’ E AE=A’E AB=A’B l α g A B A’ E AE=A’E AB=A’B l ⊥g 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 直线和平面垂直的判定定理 注：m α n α m ∩ n = B l ⊥ m l ⊥ n l ⊥α 这个定理还说明这样一个事实，的确存在着和一个平面内一切直线都垂直的直线，从而得证了直线和平面垂直的合理性。 这个定理不仅提供了判定直线和平面垂值得一种方法，而且还是证明直线和直线互相垂直的一种常用的方法，即要想证明a⊥b，只需证a与b所在平面内的两条相交直线垂直（或证b与a所在平面内的两条相交直线垂直）。 小结 1、如果一条直线垂直于平面内的一条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？ 2、如果一条直线垂直于平面内的两条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？ 3、如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？ 练习 4、如果三条直线共点、且两两垂直，其中任一条直线是否垂直于另两条直线确定的平面？为什么？ 5、如果一条直线垂直于一个三角形的两边，能否断定这条直线和三角形的第三条边垂直？为什么？ 练习 α a b m n 已知：a∥b，a ⊥α 求证：b⊥α 例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。（此定理可看作线面垂直的判定公理二） 证明：在平面α内作两条相交直线m，n ∵ a⊥α ∴ a⊥m ,a⊥n ∵ b∥a ∴ b⊥m ，b⊥n ∴ b⊥α α a b m n α β γ a b c E 例2 已知：b α，c α,b∩c=E， β∩γ=a，c⊥β，d⊥γ。 求证：a⊥α。 证明： ∵ b⊥β， β∩γ=a， ∴ b⊥a ； ∵ c⊥γ，β∩γ=a， ∴ c⊥a ； ∵ b∩c=E， b α， c α, ∴ a⊥α。 α β γ a b c E 例3 已知：正方体中，AC是面对角线，BD′是与AC 异面的体对角线。 求证：AC⊥BD′ A B D C A′ B ′ C D ′ ′ 证明： 连接BD ∵正方体ABCD-A′B′C′D′ ∴DD ′⊥正方体ABCD ∵AC、BD 为对角线 ∴AC⊥BD ∵DD ′∩BD=D ∴AC⊥△D ′DB ∴AC⊥BD ′ A B D C A′ B′ C′ D′ l α m n g A B C D A’ E ... ...
