3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 3.1.5 空间向量运算的坐标表示 基础过关练 题组一 空间向量基本定理及其应用 1.已知{a,b,c}是空间的一个基底,p=a+b,q=a-b,一定可以与向量p,q构成空间的另一个基底的是( ) A.a B.b C.c D.p-2q 2.已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+c(x,y∈R),若m与n共线,则x= ,y= . 3.已知{e1,e2,e3}为空间的一个基底,且=2e1-e2+3e3,=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3. {,,}能否作为空间的一个基底 若能,试以这一个基底表示;若不能,请说明理由. 题组二 空间向量的坐标表示 4.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,向量a在基底{,,}下的坐标为(2,1,-3),则向量a在基底{,,}下的坐标为( ) A.(2,1,-3) B.(-1,2,-3) C.(1,-8,9) D.(-1,8,-9) 5.已知A(1,2,-1)关于平面xOy的对称点为B,而B关于x轴的对称点为C,则=( ) A.(0,4,2) B.(0,4,0) C.(0,-4,-2) D.(2,0,-2) 6.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,建立如图所示的空间直角坐标系,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,则的坐标为 . 7.如图所示,在三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,OA=1,OB=2,OC=3,E,F分别为AC,BC的中点,建立以,,方向上的单位向量为正交基底的空间直角坐标系Oxyz,求EF的中点P的坐标. 8.已知在棱长为2的正四面体ABCD中,以△BCD的中心O为坐标原点,OA所在直线为z轴,OC所在直线为y轴建立空间直角坐标系,如图所示,M为AB的中点,求的坐标. 题组三 空间向量的坐标运算 9.已知a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),则b=( ) A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2) C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3) 10.已知向量a=(-2,x,2),b=(2,1,2),c=(4,-2,1),若a⊥(b-c),则x的值为( ) A.-2 B.2 C.3 D.-3 11.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且(c-a)·2b=-2,则x的值为( ) A.2 B.-2 C.0 D.1 12.已知A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),=(-),则点P的坐标是 . 题组四 空间向量的平行与垂直 13.已知a=(x,1,2),b=(1,2,-y),且(2a+b)∥(-a+2b),则( ) A.x=,y=1 B.x=,y=-4 C.x=2,y=- D.x=1,y=-1 14.已知空间向量a=(1,-1,0),b=(m,1,-1),若a⊥b,则实数m=( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 15.如果三点A(1,5,-2)、B(2,4,1)、C(a,3,b+2)共线,那么a-b= . 题组五 空间向量的模与夹角 16.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到C的距离|CM|的值为( ) A. B. C. D. 17.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 18.已知a+b=(2,,2),a-b=(0,,0),则cos
=( ) A. B. C. D. 19.如图,在三棱锥V-ABC中,顶点C在空间直角坐标系的原点处,顶点A,B,V分别在x,y,z轴上,D是线段AB的中点,且AC=BC=2,当∠VDC=60°时,异面直线AC与VD所成角的余弦值为 . 20.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=,F为PC的中点,AF⊥PB.求PA的长. 21.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD相交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°. (1)求四棱锥P-ABCD的体积; (2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值. 能力提升练 一、选择题 1.(★★)正方体ABCD-A'B'C'D'中,O1,O2,O3分别是AC,AB',AD'的中点,以{,,}为基底,=x+y+z,则x,y,z的值是( ) A.x=y=z=1 B.x=y=z= C.x=y=z= D.x=y=z=2 2.(天津和平期末,★★)已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,则( ) A.x=6,y=15 B.x=3,y= C.x=3,y=15 D.x=6,y= 3.(河南焦作三模,★★)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱AA1,AB上,且C1E⊥EF,则|AF|的最大值为( ) A. B.1 C. D.2 4.(2018湖北武汉二中月考,★★)已知{e1,e2,e3}为空间的一个基底,若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,且d= ... ... 
