4.4 二项式定理（第一课时） 课件-2021-2022学年高中数学湘教版（2019）选择性必修第一册(共26张PPT)

(课件网) 第四章 计数原理 4.4 二项式定理（第一课时） 教学目标 利用计数原理与多项式相乘的规律推出二项式定理（重点） 01 掌握二项展开式的通项公式（重点、难点） 02 运用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题（重点、难点） 03 二项展系数的相关性质（重点、难点） 04 二项式定理 学科素养 二项式定理的推导 逻辑推理 运用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 数学运算 二项展开式的通项 数学建模 二项式定理 01 新 知 探 索 New Knowledge explore 在初中我们学过多项式乘法，并且知道：如果a，b是任意实数，那么 (a＋b)1=a＋b， (a＋b)2=a2＋2ab＋b2， (a＋b)3=a3＋3a2b＋3ab2＋b2． 如果计算 (a＋b)4=(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)， 等号右边的积展开后，各项分别是什么呢 (a＋b)4由四个因式(a＋b)相乘得到，每个因式中有两项：a，b． 展开后的每项由每个因式 (a＋b)中任取一项(a或b)相乘得到，因而 各项都是四次式，其所含字母的形式分别为：a4，a3b，a2b2，ab3，b4． a4是由(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)的四个因式中都都只取a (即每个都 不取b) 相乘得到，有1种选法，所以a4的系数是 ； a3b是四个因式中任取一个因式内的b与另三个因式内的a相乘得到， 有 种选法，所以 a3b的系数是 ； a2b2是四个因式中任取两个因式内的b与另两个因式内的a相乘得到， 有 种选法，所以 a3b的系数是 ； ab3是四个因式中任取三个因式内的b与另一个因式内的a相乘得到， 有 种选法，所以 a3b的系数是 ； b4是四个因式中都只取b相乘得到，有 种选法，所以b4的系数是 ． 因此 猜想：设a，b是任意实数，对于正整数n，都有 (a＋b)n由n个因式(a＋b)相乘得到，每个因式中有两项：a，b． 展开后的每项由每个因式 (a＋b)中任取一项(a或b)相乘得到，因而 各项都是n次式，其所含字母的形式分别为： an，an－1b，an－2b2， ，an－rbr， ，bn．其中r =0，1，2， ，n． 根据(a＋b)4展开式的推导原理，我们可得 项 an an－1b an－2b2 an－rbr bn 系数 因此， 上述公式称为二项式定理． （1）右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，一共有n＋1项； （2）其中各项的系数 (0≤ r ≤ n，r∈N，n∈N＋)叫作二项式系数； （3）式中的 叫作二项展开式的通项，用Tr＋1表示， 即通项为展开式的第 r+1项： 在二项式定理中，如果设a =1，b = x，则得到公式： 二项展开式特征： （1）项数：共有n＋1项，比指数n多1． （2）次数：各项的次数均为n； 字母a的次数按降幂排列，由n递减到0 ，字母b的次数按升幂 排列，由0递增到n ． （3）二项式系数： 只与n，r有关，与a，b无关． （4）展开式的通项（第r＋1项）： 思考： 二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式的第r＋1项相同吗？ 不相同， (a＋b)n展开式的第 r+1项为 (b＋a)n展开式的第 r+1项为 注：二项式定理的展开式严格按照括号里的第二项被取到的个数从 0到n进行排序，解题时题目给出的二项式的两项是不能随意调换的． 例1 求 的展开式． 例2 求 的展开式中第5项的二项式系数和系数． 注：二项展开式中项的第r+1项的二项式系数为 ，与二项式中两项的系数无关；而第r+1项的系数指的是第r+1项字母前的数字，与二项式中两项的系数有关． 练习1 求 的展开式中的常数项． 练习1 求 的展开式中的常数项． 取到的个数 观察 例3 求 的展开式中 的系数． 02 拓 展 提 升 Expansion And Promotion [变式] 已知 ，则 [变式] 已知 ，则 [变式] 已知 ，求下列各式的值： [变式] 已知 ，求下列各式的值： 练习2 已知 的展开式中各项系数的和为32，则实数a的值为 ，展开式中 x 的系数为 ． 03 归 纳 总 结 Sum Up 二项展开式特征： （1）项数：共有n＋1项，比指数n多1． ... ...