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课件网) 3.3 函数的应用(一) 3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点 1.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题. 2.了解如何从现实生活中发现问题,并通过数学建模解决实际问题. 常见的函数模型 (1)① 直线 型:即一次函数模型; (2)② 抛物线 型:即二次函数模型,二次函数的最值问题是高考中的永恒话题, 现实生活中的最优、最省等问题也离不开二次函数; (3)③ 分段函数 型:由于实际问题在不同的范围内有不同的理解和意义,因此 这种模型的应用也比较广泛. 函数应用问题的解法流程 数学建模活动流程 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”. 1.若一辆汽车匀速行驶2 h,路程为140 km,则该汽车0.5 h行驶了35 km. ( √ ) 2.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则: (1)甲比乙先出发. ( ) (2)乙比甲跑的路程多. ( ) (3)甲、乙两人的速度相同. ( ) (4)甲先到达终点. ( √ ) 商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x (单位:元/千克)满足关系式y= +10(6-x),其中3
0,能否判断函数y= +10(6-x)的单调性 提示:能.当a>0时,y= 与y=10(6-x)在(3,6)上均为减函数,从而y= +10(6-x)在 (3,6)上为减函数. 2.当销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.如何确定函数的解析式 提示:依题意得x=5时,y=11,即 +10=11,解得a=2,所以函数的解析式为y= +10 (6-x)(3-x<6). 如何解决已知函数模型的实际应用问题 在实际问题中,涉及的两个变量之间的关系大多符合已知函数模型,如一次函 数、二次函数、反比例函数等,解决这种函数应用问题的常见步骤如下: 1.利用待定系数法求出函数解析式; 2.根据函数解析式,结合题中需要研究的函数的性质解决实际问题. 在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位.在根据实际问题得到二次函数的 解析式后,可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最 值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题. 例如 某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销 量m(件)与每件商品的售价x(元)满足一次函数m=162-3x.若要每天获得最大的销 售利润,则每件商品的售价应定为 ( ) A.30元 B.42元 C.54元 D.越高越好 解析 设日销售利润为y元,则y=(x-30)(162-3x),30≤x≤54,将上式配方得y=-3(x-4 2)2+432,所以当x=42时,利润最大. 答案 B 破疑典例 ( )某个体经营者把开始六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利 润列成下表: 投资A种商 品金额(万 元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万 元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B种商 品金额(万 元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万 元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品,请你帮助制订一个资金投入方 案,使该经营者获得最大纯利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大 纯利润(结果保留两位有效数字). 思路点拨: 先利用已知数据画出散点图,然后根据散点图的形状选择函数模型,结合条件求 出函数的解析式及定义域,最后由函数的解析式解决相关问题. 解析 以投资金额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图, 如图所示. 由散点图可以看出A种商品所获纯利润y1(万元)与投资金额x(万元)之间的变化规律可以用二次函数模型拟合. 取最高点(4,2),设y1=a(x-4)2+2(a≠0),把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0. 15,所以y1=-0.15(x-4)2+2(0
