高考试题中直线和圆问题的类型与解法 学案

高考试题中直线和圆问题的类型与解法 大家知道，直线和圆的问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，每年高考试卷中，圆锥曲线的大题基本上都会涉及到直线方程的相关内容，同时与圆相关的问题也是不可或缺的一个内容。题型为选择题或填空题，也可能参透到圆锥曲线的大题之中，难度为中，低档。纵观近几年高考试卷，归结起来直线和圆的问题主要包括：①直线的倾斜角或斜率；②直线方程的求法；③求圆的方程；④直线和圆的最值问题；⑤圆标准方程与一般方程之间的关系及运用；⑥直线与圆和圆与圆的位置关系及运用等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在具体解答直线和圆的问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例1】解答下列问题： 1、在平面直角坐标系XOY中，已知点(-，0)，(，0)，点M满足|M|-|M|=2, 记M的轨迹为C。 （1）求C的方程； （2）设点T在直线x=上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|.|TB| =|TP|.|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和（2021全国高考新高考I卷）。 【解析】 【考点】①双曲线的定义与性质；②求双曲线方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④求圆方程的基本方法；⑤已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法；⑥判断直线与圆位置关系的基本方法。 【解题思路】（1）根据双曲线的性质和求双曲线方程的基本方法，结合问题条件就可求出C的方程；（2）如图，设A（，），B（，），T（，m），直线AB的斜率为，直线PQ的斜率为，根据直线点斜式方程求出直线AB的方程，联立直线AB和双曲线C的方程消去y得到关于x的一元二次方程，运用设而不求，整体代入的数学思想，得到|TA|.|TB|关于，m的表示式，同理可得|TP|.|TQ|关于，m的表示式，联立两个表示式得到关于，的等式，求出，之间的关系就可求出直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和。 【详细解答】（1）点(-，0)，(，0)，点M满足|M|-|M|=2, a=1，c=，=-=17-1=16，C的方程为-=1（x1）；（2）如图，设A（， ），B（，），T（，m），直线AB的斜率为，直线PQ的斜率为，直线 AB过点T（，m），斜率为，直线AB的方程为y=x-+m，联立直线AB和双曲线C的方程消去y得：（16-）+（-2m）x-+m--16=0，+ =，.=，|TA|.|TB|=（1+）（-）（-） =（1+）[-+]=-（1+）=（1+） ，同理可得|TP|.|TQ|=（1+），|TA|.|TB|=|TP|.|TQ|，（1+） =（1+），（1+）（）=（1+）（），=，， =-，+=0，直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0。 5、（理）已知长度为4的线段AB的两个端点A，B分别在X轴和Y轴上运动，动点P满足=3，记动点P的轨迹为曲线C。 （1）求曲线C的方程； （2）设不经过点H（0，1）的直线y=2x+t，与曲线C相交于两点M，N，若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值。 （文）已知点A（m，0）和B（0，n），且+=16，动点P满足=3，记动点P的轨迹为曲线C。 （1）求曲线C的方程； （2）设不经过点H（0，1）的直线y=2x+t，与曲线C相交于两点M，N，若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值（2019成都市高三一诊） 【解析】 【考点】①点轨迹方程的定义与基本求法；②椭圆的定义与性质；③直线斜率的定义与基本求法；④设而不求，整体代入数学思想及运用。 【解题思路】（理）（1）运用求点的轨迹方程的基本方法就可求曲线C的方程；（2）联立直线方程和曲线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，；结合韦达定理得到两根之和与两根之积关于t的式子，利用已知直线上两点的坐标求直线的斜率的公式分别求出直线HM，HN的斜率，根据斜率之和为1得到关于t的方程，求解方程并注意M，N是不同两点，直线y=2x+t不经过点（0，1） ... ...