2.4 等比数列 一、选择题（共10小题；共50分） 1. 下列数列中，构成等比数列的是 A. B. C. D. 2. 数列 满足：（， 且 ），若数列 是等比数列，则 的值等于 A. B. C. D. 3. 公比不为 的等比数列 满足 ，若 ，则 值为 A. B. C. D. 4. 已知实数 ，，，， 依次成等比数列，则实数 的值为 A. 或 B. C. D. 不确定 5. 若一个直角三角形三边长成等比数列，则 A. 三边长之比 \（3\mathbin{：}4\mathbin{：}5\） B. 三边长之比为 \（3\mathbin{：}\sqrt 2\mathbin{：}1\） C. 较大锐角的正弦为 D. 较小锐角的正弦为 6. 已知等比数列 满足 ，，则 等于 A. B. C. D. 7. 如果数列 满足：首项 且 ，那么下列关于数列 的说法中正确的是 A. 奇数项 ，，， 成等比数列，偶数项 ，，， 成等差数列 B. 奇数项 ，，， 成等差数列，偶数项 ，，， 成等比数列 C. 奇数项 ，，， 分别加 后构成一个公比为 的等比数列 D. 偶数项 ，，， 分别加 后构成一个公比为 的等比数列 8. 在各项均为正数的等比数列 中 ，则 A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最小值 9. 一个等比数列的前三项的积为 ，最后三项的积为 ，且所有项的积为 ，则该数列有 A. 项 B. 项 C. 项 D. 项 10. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 ．若第一个单音的频率为 ，则第八个单音的频率为 A. B. C. D. 二、填空题（共5小题；共25分） 11. 设等比数列 满足 ，，则 ． 12. 已知等比数列 中，，，则该等比数列的公比的值是 ． 13. 已知数列 满足：对任意 均有 （ 为常数， 且 ），若 ，则 的所有可能取值的集合是 ． 14. 已知数列 满足 且 ，则 ． 15. 在等比数列 中，，，，则 ． 三、解答题（共3小题；共39分） 16. 已知函数 是二次函数，且 ，，， 构成正项等比数列，求证：． 17. 已知等差数列 满足 ，． （1）求 的通项公式． （2）设等比数列 满足 ，；问： 与数列 的第几项相等． 18. 已知数列 满足 ，，，其中 ． （1）求 的值； （2）判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论． 答案 第一部分 1. D 2. D 【解析】由 ，得 ． 由于数列 是等比数列， 所以 ，得 ． 3. C 【解析】因为数列 等比， 所以 ， 因为 ， 所以 ． 4. C 【解析】因为实数 ，，，， 依次成等比数列，所以有 ， 当 时，，显然不存在这样的实数 ，故 ，因此本题选C． 5. D 【解析】由题中条件可设三边为 ，，（）， 由勾股定理：，则 ， 设较小锐角为 ，其对边为 ，则 ． 选D． 6. C 【解析】因为 ， 所以 ， 将 代入上式并整理，得 ， 解得 ， 所以 ． 7. D 【解析】先枚举 ：，，，，，，，显然选项（A）、（B）、（C）都不正确，再判断（D）正确： 因为 ， 所以偶数项 ，，， 分别加 后构成一个公比为 的等比数列． 8. A 9. B 【解析】设数列的通项公式为 则前三项分别为 ，，， 后三项分别为 ，，． 由题意得 ，， 两式相乘得 ，即 ． 又因为 ， 所以 ， 即 ，解得 ． 10. D 第二部分 11. 【解析】设等比数列 的公比为 ， 因为 ，， 所以 ，， 解得 ，． 则 ． 12. 【解析】． 13. 【解析】由题意，，记 ，则 ， 因为 ， 所以 ， ①若 ，即 ，此时 ，满足条件； ②若 ，则数列 是一个以 为公比的等比数列， 当 ，，，，即 ，，， 时，． ，； 当 ，，，，即 ，，， 时，． 此时，，． 所以 的所有可能取值的集合是 ． 14. 【解析】由题意可知 ，， 所以 是以 为首项， 为公比的等比数列， 所以 ， 所以 ． 15. 【解析】设等比数列的首项为 ，公比为 ，则由 解得 或 （舍去）， 所以 ． 第三 ... ...
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