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课件网) 2022年中考数学一轮复习（人教版） 第四单元 三角形 第20课时 直角三角形与勾股定理 ●高频考向探究 ●基础知识巩固 知识梳理 一、直角三角形 定义 有一个角是① 的三角形叫做直角三角形 性质 (1)直角三角形的两个锐角② ; (2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于③ ,图中,BC=AB; (3)直角三角形斜边上的中线等于④ ,图中CD=AB; (4)勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么⑤ 直角 互余 斜边的一半 斜边的一半 a2+b2=c2 (续表) 判定 (1)有一个角等于⑥ 的三角形是直角三角形(定义); (2)有两个角⑦ 的三角形是直角三角形; (3)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形; (4)一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角 形,图中若CD=AB,则△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形 (应用时,需先证明) 90° 互余 (续表) 面积 SRt△ABC=ch=ab,其中a,b为两直角边,c为斜边,h为斜边上的高 拓展 Rt△ABC内切圆半径r=,外接圆半径R=,其中a,b为两直角边长,c为斜边长 二、勾股定理的探索过程 赵爽弦图 如图,∵大正方形的边长为c,∴大正方形的面积为c2. 又∵大正方形的面积=4×ab+(a-b)2=a2+b2,∴a2+b2=c2 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积为c2+4×ab, 由图②得大正方形的面积为a2+b2+4×ab,∴a2+b2=c2 (续表) (续表) 詹姆斯·加菲尔德总统拼图 如图,设梯形的面积为S,则S=(a+b)(a+b)=a2+b2+ab. 又∵S=ab+ab+c2=c2+ab,∴a2+b2=c2 基础自测 题组一 教材题 1.[八下P24练习第2题改编]如图20-1,图中所有的三角形都是直角三角形,四边形都是正方形.已知正方形A,B,C,D的边长分别是12,16,9,12,则最大正方形E的 面积为 . 图20-1 625 2.[八下P34习题17.2第5题改编]如图20-2,在四边形ABCD中, AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=90°,则四边形ABCD的面积是 . 图20-2 36 [解析]在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,根据勾股定理,得AC=5, ∴S△ABC=AB·BC=×4×3=6. 在△ACD中,AC=5,AD=13,CD=12, ∵AC2+CD2=52+122=169,AD2=132=169, ∴AC2+CD2=AD2,∴△ACD为直角三角形, ∴S△ACD=AC·CD=×5×12=30, ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=6+30=36. 题组二 易错题 3.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADC的度数为 . 90°或130° 【失分点】忽视分类讨论导致漏解. 例1 如图20-3,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,E是边BC的中点,ED=3,AD=4,则DC的长是 ( ) A.1 B. C.2 D. 考向一 直角三角形的性质 图20-3 C [解析]∵AD⊥BC,ED=3,AD=4, ∴AE==5, ∵∠BAC=90°,E是边BC的中点, ∴AE=BC=EC, ∴EC=5,∴DC=EC-ED=2. 故选C. 例2 如图20-4,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN. (1)求证:BM=MN; (2)若∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长. 图20-4 (1)求证:BM=MN; 图20-4 解:(1)证明:在△CAD中, ∵M,N分别是AC,CD的中点, ∴MN∥AD,MN=AD, 在Rt△ABC中,∵M是AC中点,∴BM=AC. ∵AC=AD,∴MN=BM. (2)若∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长. 图20-4 (2)∵∠BAD=60°,AC平分∠BAD, ∴∠BAC=∠DAC=30°. 由(1)可知,BM=AC=AM=MC, ∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°. ∵MN∥AD,∴∠NMC=∠DAC=30°, ∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°, ∴BN2=BM2+MN2.由(1)可知MN=BM=AC=1,∴BN=. 【方法点析】(1)遇到有公共斜边的两个直角三角形时,优先考虑构造斜边上的中线求解.如图20-5,取AB中点M,连接CM,DM,可证明CM=DM. (2)关注含30 °,45 °,60 °角的特殊直角三角形:见到这些角或,, (3, ... ...
