3.2.1 直线的点斜式方程 学案（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 直线的点斜式方程 【学习目标】 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程. 2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程. 3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题． 知识点一　直线的点斜式方程 思考1　如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？21世纪教育网版权所有 答案　由斜率公式得k＝， 则x，y应满足y－y0＝k(x－x0)． 思考2　经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？ 答案　斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0斜率不存在的直线为x＝x0. 梳理　 点斜式 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 图示 方程形式 y－y0＝k(x－x0) 适用条件 斜率存在 知识点二　直线的斜截式方程 思考1　已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？ 答案　将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得：y＝kx＋b. 思考2　方程y＝kx＋b，表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？ 答案　y轴上的截距b不是距离，可以是负数和零． 思考3　对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2. ①l1∥l2 k1＝k2且b1≠b2， ②l1⊥l2 k1k2＝－1. 梳理 斜截式 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示 方程式 y＝kx＋b 适用条件 斜率存在 类型一　直线的点斜式方程 例1　写出下列直线的点斜式方程． (1)经过点A(2,5)，且与直线y＝2x＋7平行； (2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行； (3)经过点D(1,2)，且与x轴垂直． 解　(1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y－5＝2(x－2)． (2)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0. (3)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程． 反思与感悟　(1)求直线的点斜式方程 (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但直线x＝x0除外． 跟踪训练1　(1)经过点(－3,1)且平行于y轴的直线方程是_____． (2)直线y＝2x＋1绕着其上一点P(1,3)逆时针旋转90°后得到直线l，则直线l的点斜式方程是_____． (3)一直线l1过点A(－1，－2)，其倾斜角等于直线l2：y＝x的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为_____． 答案　(1)x＝－3　(2)y－3＝－(x－1) (3)y＋2＝(x＋1) 解析　(1)∵直线与y轴平行，∴该直线斜率不存在， ∴直线方程为x＝－3. (2)由题意知，直线l与直线y＝2x＋1垂直，则直线l的斜率为－. 由点斜式方程可得l的方程为y－3＝－(x－1)． (3)∵直线l2的方程为y＝x， 设其倾斜角为α，则tan α＝，∴α＝30°， 那么直线l1的倾斜角为2×30°＝60°， 则l1的点斜式方程为 y＋2＝tan 60°(x＋1)，即y＋2＝(x＋1)． 类型二　直线的斜截式方程 例2　(1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是_____． (2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．21教育网 (1)答案　y＝x＋3或y＝x－3 解析　∵直线的倾斜角是60°， ∴其斜率k＝tan 60°＝， ∵直线与y轴的交点到原点的距离是3， ∴直线在y轴上的截距是3或－3， ∴所求直线方程是y＝x＋3或y＝x－3. (2)解　由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2， 又因为l∥l1，所以kl＝－2， 由题意知l2在y轴上的截距为－2， 所以直线l在y轴上的截距b＝－2， 由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2. 引申探究 本例(2)中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求l的方程．21cnjy.com 解　∵l1⊥l，直线l1：y＝－2x＋3，∴l的斜率为， ∵l与l2在y轴上的截距互为相反数， 直线l2：y＝4x－2，∴l ... ...