4.2.2 圆与圆的位置关系 学案（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 圆与圆的位置关系 【学习目标】 1.理解圆与圆的位置关系的种类. 2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系. 3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性． 知识点　两圆位置关系的判定 思考1　圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系？ 答案　圆与圆的位置关系有五种，分别为：相离、外切、相交、内切、内含． 几何方法判断圆与圆的位置关系 设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，则 (1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2相离； (2)当d＝r1＋r2 时，圆C1与圆C2外切； (3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2 时，圆C1与圆C2相交； (4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切； (5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含． 思考2　已知两圆C1：x2＋y2 出卷网＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？21·cn·jy·com 答案　联立两圆的方程，消去y后 出卷网得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含．【来源：21·世纪·教育·网】 梳理　(1)用几何法判定圆与圆的位置关系 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r， C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r， 则圆心距d＝|C1C2|＝. 两圆C1，C2有以下位置关系： 位置关系 相离 内含 相交 内切 外切 圆心距与半径的关系 d＞r1＋r2 d＜|r1－r2| |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＝r1＋r2 图示 (2)用代数法判定圆与圆的位置关系 已知两圆：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0， 将方程联立 消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程， 则①判别式Δ＞0时，C1与C2相交； ②判别式Δ＝0时，C1与C2外切或内切； ③判别式Δ＜0时，C1与C2相离或内含． 类型一　两圆的位置关系 例1　已知圆M：x2＋y2－2 出卷网ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)21教育网 A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 答案　B 解析　由得两交点分别为(0,0)，(－a，a)． ∵圆M截直线所得线段的长度为2， ∴＝2， 又a＞0，∴a＝2. ∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0， 即x2＋(y－2)2＝4，圆心为M(0,2)，半径为r1＝2. 又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为N(1,1)，半径为r2＝1， ∴|MN|＝＝. ∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1＜|MN|＜3， ∴两圆相交． 反思与感悟　判断圆与圆的位置关系的一般步骤 (1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要)． (2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2. (3)求两圆的圆心距d. (4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系． (5)根据大小关系确定位置关系． 跟踪训练1　已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为(　　)21cnjy.com A．1或3 B．4 C．0 D．2 答案　D 解析　由圆C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝， 得C1(1，－2)，C2(2，－1)， ∴|C1C2|＝＝. 又r1＝1，r2＝， 则r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2， ∴圆C1与圆C2相交． 故这两个圆的公切线共2条． 例2　当a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0： (1)外切；(2)相交；(3)相离． 解　将两圆方程写成标准方程，则 C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4. ∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2. 设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5. (1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切， 此时a＝－5或a＝2. (2)当1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25时，两圆相交，此时－5＜a＜－ ... ...