通州区高三年级期末考试 数学（理）试卷 2013年1月 本试卷分第I卷和第II卷两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 （选择题 共40分） 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合，，则 （A） （B） （C）（D） 【答案】C 【 解析】因为，所以，选C. 2．在复平面内，复数对应的点位于 （A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 【答案】B 【 解析】,，对应的点的坐标为，所以在第二象限，选B. 3．已知圆的直角坐标方程为．在以原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为 （A）（B）（C）（D） 【答案】A 【 解析】因为在极坐标系中，，代入方程得，即，选A. 4．设函数则 （A）（B）（C）（D） 【答案】D 【 解析】，所以，选D. 5．一个几何体的三视图如图所示，该几何 体的表面积是 （A）（B）（C）（D） 【答案】B 【 解析】由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的底面积为，侧面积为，所以表面积为，选B. 6．执行如图所示的程序框图，输出的值为 （A）（B）（C）（D） 【答案】B 【 解析】由程序框图可知，当时，满足条件，即，所以该程序是求的程序，所以，选B. 7．在中，角的对边分别为，则“”是“是等腰三角形”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A 【 解析】若，由正弦定理得，即，所以，即，所以，即，所以是等腰三角形。若是等腰三角形，当时，不一定成立，所以“”是“是等腰三角形”的充分不必要条件，选A. 8．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线 和直线的距离之和的最小值是 （A） （B） （C） （D） ,【答案】B 【 解析】因为抛物线的方程为，所以焦点坐标,准线方程为。所以设到准线的距离为,则。到直线的距离为， 所以,其中为焦点到直线的距离，所以，所以距离之和最小值是2，选B. 第Ⅱ卷 （非选择题 共110分） 二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分) 9．如图，已知，，，则圆的半径OC的长为 ． 【答案】 【 解析】取BD的中点，连结OM，则,因为，所以，所以，所以半径，即。 10．已知满足约束条件则的最大值为 ． 【答案】 【 解析】作出不等式组对应的可行域，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，此时最大。由解得，即，代入得。 11．若，则的最小值为 ． 【答案】 【 解析】由得，因为，所以，根据均值定理得，当且仅当，即，即时取等号，所以的最小值为1. 12．在边长为的等边中，为边上一动点，则的取值范围是 ． 【答案】 【 解析】因为D在BC上，所以设，则。所以，因为，所以，即的取值范围数。 13．奇函数的定义域为，若在上单调递减，且 ，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【 解析】因为奇函数在上单调递减，所以函数在上单调递减。由得，所以由，得，所以，即实数的取值范围是。 14．对任意两个实数，定义若， ，则的最小值为 ． 【答案】 【 解析】因为，所以时，解得或。当时，，即，所以，做出图象，由图象可知函数的最小值在A处，所以最小值为。 三、解答题（共6小题，共80分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分） 已知函数． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求函数在的最大值和最小值． 16.（本小题满分14分） 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC1=4，M是棱CC1上一点． （Ⅰ）求证：BC⊥AM； （Ⅱ）若N是AB上一点，且，求证： CN // ... ...
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