江苏省盱眙中学2013届高三上学期期末考试数学试题（带解析）

盱眙中学2013届高三上学期期末考试数学试题 一、填空题 1．已知向量a，b满足| a | = 1，b = 2，(a – b)·a = 0，则a与b的夹角为 ． 2．中，所对的边长分别为，且，，则　　　　　　。 3．已知、，满足=+（O是坐标原点）,若+=1 , 则点坐标满足的方程是 ． 4．命题“存在，使得”的否定是 5．如果关于的不等式的解集不是空集，则参数的取值范围是 ． 6．已知集合M是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式＝＋恒成立．现有两个函数：，，则函数、与集合M的关系为 . 7．若集合, 则等于 ___ 8．设是等差数列｛｝的前n项和，已知=3，=11，则等于_____ 9．数列，，，，，…的一个通项公式为_____. 10．不等式的解集为_____. 11．已知a+1，a+2，a+3是钝角三角形的三边，则a的取值范围是 12．已知，且，则的最大值为 13．已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数是，方差是，那么另一组数据 2x1– 1，2x2 – 1，2x3– 1，…，2xn– 1的平均数是　　　　，方差是　　　　． 14．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_ ___根在棉花纤维的长度小于20mm。 二、解答题 15．（Ⅰ）设函数，求的最小值； （Ⅱ）设正数满足，证明 16．设，函数 （1）求m的值，并确定函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性，并加以证明。 17．（本题16分）已知函数，其中e是自然数的底数，， 当时，解不等式； 若当时，不等式恒成立，求a的取值范围； 当时，试判断：是否存在整数k，使得方程在 上有解？若存在，请写出所有可能的k的值；若不存在，说明理由。 18．附加题) 已知矩阵， （1）计算AB； （2）若矩阵B把直线的方程。 19．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵，向量． (I)求矩阵的特征值、和特征向量； (II)求的值． （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． （Ⅰ）求直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值． （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 （Ⅰ）已知：a、b、；w.w.w. .c.o.m （Ⅱ）某长方体从一个顶点出发的三条棱长之和等于3，求其对角线长的最小值. 20．如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点. （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程； （Ⅱ）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、 若△的面积不小于，求直线斜率的取值范围. 参考答案 一、填空题 1． 【解析】 试题分析：由得夹角为 考点：向量数量积运算 点评： 2．2 【解析】 3． 4．对任意，都有. 【解析】含有量词的命题既要否定量词，又要否定结论. 5． 6．M, 【解析】（1）若＝ax＋b∈M，则存在非零常数k，对任意x∈D均有 ＝akx＋b＝＋，即a(k－1)x＝恒成立，得无解，所以M． （2）＝＋，则＝，k＝4，k＝2时等式恒成立，所以＝∈M． 7． 8．63 9．an= 10． 11． 12． 13．， 14．30 二、解答题 15．（Ⅰ）解：对函数求导数： 　 　　　 于是， 当时，，在区间是减函数， 当时，，在区间是增函数， 所以时取得最小值，， （II）用数学归纳法证明 (ⅰ)当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立 (ⅱ)假设当n=k时命题成立　 即若正数满 ... ...