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课件网) 作业讲评 1.3.1函数的单调性与导数（四） 选择性必修 第二册（湘教版） 第 1 章 1 1.3 导数在研究函数中的应用 回忆:函数的单调性与导数正负的关系 一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导, f ′(x)>0 f(x)在(a,b)内单调递增， f ′(x)<0 f(x)在(a,b)内单调递减. 知识回顾 用导数求函数单调区间的步骤 确定函数f(x)的定义域； 求导数f ′(x)； 解不等式f ′(x)>0，解集在定义域内部分为增区间； 解不等式f ′(x)<0，解集在定义域内部分为减区间. 根据题目要求下结论 知识回顾 知识回顾 知识回顾 结论1：若函数y=f (x)在区间(a，b)上单调递增，则f ′(x)≥0在(a，b)上 恒成立，且在(a，b)的任意子区间，f ′(x)=0不恒成立； 结论2：若函数y=f (x)在区间(a，b)上单调递减，则f ′(x)≤0在(a，b)上 恒成立，且在(a，b)的任意子区间，f ′(x)=0不恒成立； 注意： 解：由题意得，g(x)＝mx3－(m＋2)x2，则 g′(x)＝3mx2－2(m＋2)x， 由 g(x) 在区间 [1, 3] 上是增函数，得 g′(x)＝3mx2－2(m＋2) x ≥ 0 对于1 ≤ x ≤ 3 恒成立， 所以 m(3x－2) ≥ 4，因为3x－2＞0，所以 m ≥ ， 记 h(x)＝ ，则 m ≥ h(x)min，而函数 h(x) 在 [1, 3] 上为减函数， 则 h(x)max＝h(1)＝4，所以 m ≥ 4，故实数 m 的取值范围是 [4, ＋∞). 应用探究 【例3】已知函数 f (x)＝mx3－2x2 （m∈R）. 若函数 g(x)＝f (x)－mx2 在[1, 3]上单调递增，求实数 m 的取值范围. 4 3x－2 4 3x－2 应用探究 【变式1】已知函数 f (x)＝mx3－2x2 （m∈R）. 若函数 g(x)＝f (x)－mx2 在[1, 3]上单调递减，求实数 m 的取值范围. 应用探究 【变式2】已知函数 f (x)＝mx3－2x2 （m∈R）. 若函数 g(x)＝f (x)－mx2 在[1, 3]上不单调，求实数 m 的取值范围. 不单调 变式3：y＝sinx＋ax在R上是减函数的a的取值范围为_____． 解析 y′＝cos x＋a≤0， ∴a≤－cos x在R上恒成立， 又cos x∈[－1,1]，∴a≤－1. 答案 (－∞，－1]. 应用探究 增函数 当a－1≤1,即a≤2时,函数f(x)在(1,＋∞)上为增函数,不合题意． [解析] f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)] 当a－1＞1，即a＞2时 x (－∞，1) (1，a－1) (a－1，＋∞) f′(x) f(x) ＋ ＋ － 增函数 减函数 三、课堂小结：求函数单调区间时需注意： 课 后 作 业 Thank you for watching ! 1.练习册第11页：变式训练3、随堂练习4 2.记忆本节的公式和定义、结论. 3.完成练习册相关内容（直接做在练习册上）
