§7 导数的应用 7．1 实际问题中导数的意义 学习目标 1.了解导数在实际问题中的意义.2.能用导数解释一些实际问题． 导语 低碳生活(low carbon living)，就是指在生活中要尽力减少所消耗的能量，特别是二氧化碳的排放量，从而减少对大气的污染，减缓生态恶化．低碳生活节能环保，势在必行．现实生活中，当汽车行驶路程一定时，我们希望汽油的使用效率最高，即每千米路程的汽油消耗最少或每升汽油能使汽车行驶的路程最长．如何使汽油的使用效率最高？ 一、导数在物理学中的应用 例1 物体作自由落体运动，其方程为s(t)＝gt2(其中位移单位：m，时间单位：s，g＝9.8 m/s2)． (1)计算当t从2 s变到4 s时位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的意义； (2)求s′(2)，并解释它的意义． 解 (1)当t从2 s变到4 s时，位移s从s(2)变到s(4)， 此时，位移s关于时间t的平均变化率为 ＝ ＝9.8×3＝29.4(m/s)． 它表示物体从2 s到4 s这段时间平均每秒下落29.4 m. (2)∵s′(t)＝gt， ∴s′(2)＝2g＝19.6(m/s)． 它表示物体在t＝2 s时的瞬时速度为19.6 m/s. 反思感悟 在物理学中： (1)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是位移s关于时间t的导数；速度v关于时间t的导数是加速度． (2)功与功率：通常称力在单位时间内做的功为功率，它是功W关于时间t的导数． (3)线密度：单位长度的物质质量称为线密度，它是质量关于长度的导数． 跟踪训练1 某人拉一车前行，他所做的功(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，其函数关系式为W(t)＝t3－2t＋1. (1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释其意义； (2)求W′(1)，W′(2)，解释它们的意义． 解 (1)当t从1 s变到3 s时，功W从W(1)＝1－2＋1＝0(J)变到W(3)＝33－2×3＋1＝22(J)， 其平均变化率为＝＝11(J/s)， 它表示从t＝1 s到t＝3 s这段时间内，这个人平均每秒做功11 J. (2)因为W′(t)＝3t2－2， 所以W′(1)＝3－2＝1(J/s)， W′(2)＝3×22－2＝10(J/s)， W′(1)，W′(2)分别表示t＝1 s和t＝2 s时，这个人每秒做的功为1 J和10 J. 二、导数在经济活动中的应用 例2 某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)＝x2＋60x＋2 050.求当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义． 解 当x从10件提高到20件时， 总成本C从C(10)＝2 675元变到C(20)＝3 350元． 此时总成本的平均改变量为＝67.5(元/件)， 其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量． 延伸探究 若本例的条件不变，求当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义． 解 因为C′(x)＝x＋60， 所以C′(75)＝×75＋60＝97.5(元/件)， 它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元． 反思感悟 在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决． 跟踪训练2 东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7 000x＋600. (1)求产量为1 000台的总利润与平均利润； (2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量； (3)求c′(1 000)与c′(1 500)，并说明它们的实际意义． 解 (1)产量为1 000台时的总利润为 c(1 000)＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600 ＝5 000 600(元)， 平均利润为＝5 000.6(元/台)． (2)当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为 ＝＝2 000(元/台)． (3)∵c′(x)＝(－2x2＋7 000x＋600)′ ＝－4x＋7 000， ∴c′(1 000)＝－4×1 000＋7 000＝3 000(元/台)． c′(1 500)＝－4×1 500＋7 000＝1 000(元/台)． c′(1 000)＝3 000表示当产量为1 000台 ... ...
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