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课件网) 5.2.2 复数的乘法与除法 * 5.2.3 复数乘法几何意义初探 课标阐释 1.掌握复数的乘法与除法,能够进行复数的乘、除运算.(数学运算) 2.掌握虚数单位i幂值的周期性,能进行有关的运算.(数学运算) 3.能在复数范围内解有关方程问题.(数学运算) 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 我们知道,两个实数的乘法对加法来说满足分配律,即a,b,c∈R时,有(a+b)c=ac+bc,而且,实数的正整数次幂满足am·an=am+n,(am)n=amn,(ab)n=an·bn,其中m,n均为正整数,那么,复数的乘法应该如何规定,才能使得类似的运算法则仍成立呢 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 名师点析1.对复数乘法的三点说明 (1)类比多项式运算:复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似,可仿多项式乘法进行,但结果要将实部、虚部分开(i2换成-1). (2)运算律:多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立,乘法公式也适用. (3)常用结论:①(a±bi)2=a2±2abi-b2(a,b∈R); ②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);③(1±i)2=±2i. 激趣诱思 知识点拨 微练习1 复数i(2-i)=( ) A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i 解析i(2-i)=1+2i. 答案A 微练习2 如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m等于( ) A.1 B.-1 解析因为(m2+i)(1+mi)=(m2-m)+(m3+1)i是实数,m∈R,所以得m3+1=0,即m=-1. 答案B 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 二、复数范围内一元二次方程的解法 一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,且a≠0)在复数范围内的根 名师点析复数集内一元二次方程的解法 类型 实系数一元二次方程 复系数一元二次方程 Δ的作用 可以用来判断根的情况 不能用来判断根的情况 求根公式 适用 适用 韦达定理 适用 适用 激趣诱思 知识点拨 答案B 激趣诱思 知识点拨 微练习2 已知1+i是关于x的方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数),则b,c的值分别为( ) A.-2,2 B.2,-2 C.-1,1 D.1,-1 解析因为1+i是关于x的方程x2+bx+c=0的一个根,所以(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0. 答案A 激趣诱思 知识点拨 三、复数的除法 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 答案B 激趣诱思 知识点拨 答案D 激趣诱思 知识点拨 四、in的周期性 激趣诱思 知识点拨 微练习1 i2 020= . 解析i2 020=i4×505=1. 答案1 激趣诱思 知识点拨 *五、复数乘法几何意义初探 探究一 探究二 探究三 探究四 当堂检测 复数的乘法与除法运算 例1计算下列各题: 探究一 探究二 探究三 探究四 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 当堂检测 2.复数除法运算的技巧 (1)根据复数的除法,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似. (2)复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部与虚部要完全分开的形式. 探究一 探究二 探究三 探究四 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 当堂检测 i的乘方的周期性及应用 例2(1)i为虚数单位,i607的共轭复数为( ) A.i B.-i C.1 D.-1 (2)计算i1+i2+i3+…+i2 019+i2 020= . 解析(1)因为i607=i4×151+3=i3=-i,所以其共轭复数为i.故选A. (2)因为i1+i2+i3+i4=0, 所以i1+i2+i3+…+i2 019+i2 020=(i1+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2 013+i2 014+i2 015+i2 016)+(i2 017+i2 018+i2 019+i2 020)=0. 答案(1)A (2)0 反思感悟 虚数单位i的周期性 (1)i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n∈N+),n也可以推广到整数集. (2)in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N+). 探究一 探究二 探究三 探究四 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 当堂检测 与复数有关的方程问题 例3设关于x的一元二次方程x2-(tan θ+i)x-(2+i)=0有实数根,则锐角θ以及实数根分别为( ) 探究一 探究二 探究三 探究四 当堂检测 答案C 反思感悟 ... ...
