(
课件网) 5.3.1复数的三角表示式 目标与素养 1.掌握复数的三角表示式及相关概念. 2.掌握复数的三角形式与代数形式的互化. 3.了解复数的代数形式，掌握实数、虚数、纯虚数之间的关系，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次 重点与难点 重点 复数三角形式的有关概念，复数的代数形式与三角形式的互化. 难点 根据需要把复数的代数形式表示成三角形式及其反向应用. 环节一 问题导入 通过这几节课的学习，我们知道了复数通常用z=a+bi(a, b∈R)表示，在复平面内有一一对应的点(a,b) ，也与平面向量 一一对应. 向量的大小可以通过模来表示，因此关键的就是向量的方向 在初中我们学过角的概念，角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 通过这几节课的学习，我们知道了复数通常用z=a+bi(a, b∈R)表示，在复平面内有一一对应的点(a,b) ，也与平面向量 一一对应. 向量的大小可以通过模来表示，因此关键的就是向量的方向 因此我们可以用向量所在射线为终边的角来刻画向量的方向.也就是本节课要研究复数的另一种重要表示———复数的三角表示 θ r 环节二 探究新知 探究一 复数的三角形式的引入 探究二复数的三角表示式 如图所示，复数 与向量 一一对应，复数 由向量 的坐标 唯一确定.我们知道向量也可以由它的大小和方向唯一确定，那么能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？如何表示？ 提出问题 复数 z=a+bi除了由向量 在两坐标轴方向上的投影a,b 来确定外，是否可以由其他元素来确定？ 成果 利用平面向量有关知识，分析出可以由复数的模，即向量 的模和复平面内以 轴的非负半轴为始边，以向量 所在的射线（射线 ）为终边的角 唯一确定. 探究一 复数的三角形式的引入 探究二复数的三角表示式 由三角函数定义得，a=rcosθ,b=rsinθ, ,所以z=a+bi=rcosθ+rsinθ=r(cosθ+isinθ) 其中 ，r= ，cosθ= ,sinθ= 这样，我们就用刻画向量大小的模 和刻画向量方向的角 表示了复数 . rsinθ rcosθ 当点 在实轴或虚轴上时，这个结论成立吗？ 提出问题 探究一 复数的三角形式的引入 探究二复数的三角表示式 1.复数的三角形式 一般地，任何一个复数z=a+bi 都可以表示成r(cosθ+isinθ) 的形式.其中 r是复数 的模； θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量 所在射线（射线 ）为终边的角，叫做复数z=a+bi 的辐角. r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi 的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来， 叫做复数的代数表示式，简称代数形式. 提问 复数的代数形式唯一吗？复数的三角形式呢？ 代数形式是唯一的.三角形式不唯一.例如 . 探究一 复数的三角形式的引入 探究二复数的三角表示式 2.辐角与辐角主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 2π的整数倍.复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值. 我们规定在 范围内的辐角θ 的值为辐角的主值. 通常记作 ，即 . 提问 复数的代数形式唯一吗？复数的三角形式呢？ 代数形式是唯一的.三角形式不唯一.例如 . 探究一 复数的三角形式的引入 探究二复数的三角表示式 3.复数代数形式和三角形式的转化 复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化. 探究一 复数的三角形式的引入 探究二复数的三角表示式 4.复数相等的三角形式 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 探究一 复数的三角形式的引入 探究二复数的三角表示式 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数的辐角是唯一的．( ... ...
