第4单元 计算与问题解决 4.l算法及其特征 1、算法的重要特征 有穷性。算法必须能在执行有限个步骤之后终止。 确切性。算法中的每一次运算都有明确的定义，具有无二义性，并且可以通过计算得到唯一的结果。 输人项。一个算法有0个或多个输人，以刻画运算对象的初始情况，所谓0个输人是指算法本身给出了初始条件。 输出项。算法一定要有输出。任何算法都不能“无功而返”可行性。算法中执行的任何计算都可以在有限时间内完成(也称为有效性)。算法中的运算都必须是可以实现的。 从某种意义上说，算法也是一种数学模型。一般而言，问题求解的第一步是数学建模。用数学语言描述实际现象，将现实世界的问题抽象成数学模型，就可能发现问题的本质并判定其能否求解，继而找到求解该问题的方法和算法。 2、枚举 我们常利用计算机运算速度快、精确度高的特点解决实际问题。在设计算法时，最简单的方法就是“直译”我们的思维过程。有一种算法是把所有可能的答案一一列举，合适就保留，不合适就丢弃。这种方法称作“枚举”或“穷举” 4.2 数值计算 1、numpy模块简介 numpy是一个科学计算包，其中包含很多数学函数，如三角函数、矩阵计算方法等。通过该模块中的arange函数可以创建一个等差数列。如在0~2π之间每隔0.01取个值，则可以用arange(0,2* numpy.pi,0.01)来表示，其中numpy.pi表示π。下列代码可以产生sin(x)的若干个关键点 2、matplotlib模块简介 matplotlib模块是Python中最出色的绘图库，功能很完善。调用 matplotlib.pyplot时，坐标系可以根据数值范围自动生成。 matplotlib的绘图原理很简单，利用plot画线函数就可以在直角平面 内轻松地将(x, y)坐标点对连接成平滑曲线。例如:在上述代码的适当位置增加下列语句，就可以将刚才生成的关键点连接起来。 参考上述代码，让我们一起来完善以下Python程序，尝试绘出“sin(x)”“sin(-x)”和“sin(2x)/2”的图像。 斐波那契在《计算之书》中提出了一个有趣的兔子问题:假设一对兔子每个月可以生一对小兔子，一对兔子出生后第2个月就开始生 小兔子。则一对兔子一年内能繁殖成多少对 10年呢 第1个月和第2个月的兔子对数之和为第3个月的兔子对数，第2个月和第3个月的兔子对数之和为第4个月的兔子对数...，每个月的兔子对数是前两个月的兔子对数之和，又同时作为下一个月兔子对数的加数。这种重复反馈的过程称为迭代。 迭代法也称辗转法，是用计算机解决问题的一种基本方法。迭代通常是为了接近并到达所需的目标或结果。每一次对过程的重复被称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会被用来作为下一次迭代的初始值。 由于在迭代系列中的每个月份兔子对数只跟前两个月有关，因此在编写程序时，只需两个变量f1和f2分别记录上上月和上月的数据。 “f1,f2=f2,f1+f2”中右边的值全是这个式子计算以前的初始值，可折为下面代码 利用迭代算法解决问题，有三个关键步骤: (1)确定迭代变量, 如上例中的的f1、f2; (2) 建立迭代关系式；(3)对迭代过程进行控制，这是编写迭代程序必须考虑的问题，不能让迭代过程无休止地重复执行下去。 现代自然科学和工程电子技术的研究过程中，都离不开大规模的数学计算问题。例如:数学类课程中的线性方程求解、微分方程求解、概率统计等，实用性和实验性技术应用中的模拟核试验、油田开发、飞机设计等。 4.3 非数值计算 1、分治策略 分治的设计思想，是将一个难以直接解决的大问题，分割成一些较小的同类问题，各个击破，最终达到解决问题的目的。二分查找实际上就是分治策略的一种典型运用。 2、二分查找. 二分查找又叫折半查找，该方法主要将数列有序排列，采用跳跃式的方式查找数据。以递增数列为例，先以中点位置的元素作为比较对象，如果要找的元素值小于该 ... ...
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