6.3.2离散型随机变量的方差同步学案

3．2　离散型随机变量的方差 [教材要点] 要点　离散型随机变量的方差与标准差 1．定义：若离散型随机变量X的分布列如表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称DX＝_____＝_____为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差，记作σX. 2．特征：随机变量的方差DX和标准差σX都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度，方差(标准差)_____，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；反之，方差(标准差)_____，则随机变量的取值越分散． 状元随笔　随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．因此，我们常用样本的方差来估计总体的方差． [基础自测] 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(　　) (2)若a是常数，则Da＝0.(　　) (3)随机变量的方差即为总体方差，不随抽样样本的不同而不同．(　　) (4)标准差与随机变量本身有相同的单位．(　　) 2．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为DX甲＝11，DX乙＝3.4.由此可以估计(　　) A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 3．已知X的分布列为 X －1 0 1 P 0.5 0.3 0.2 则DX等于(　　) A．0.7　　　　B．0.61　　　　C．－0.3　　　　D．0 4．已知随机变量X，DX＝，则X的标准差为_____． 题型一　已知分布列求方差(标准差) 例1　(1)下表是随机变量X的分布列，其中a，b，c成等比数列，a＋2c＝3b，且a，b，c互不相等，则DX＝_____． X －1 0 2 P a b c (2)已知X的分布列为 X 0 10 20 50 60 P 求X的方差及标准差． 方法归纳 分布列含有参数的，先根据题设条件及分布列的性质求参数，再由均值的定义求均值，最后根据方差(标准差)的定义求解即可． 跟踪训练1　(1)甲、乙两人对目标各射击一次，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，若命中目标的人数为X，则DX＝(　　) A． B． C． D． (2)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表所示． 降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延误 天数Y 0 2 6 10 历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700 ，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的方差为_____． 题型二　求离散型随机变量的方差(标准差) 例2　已知袋中有20个大小相同的球，其中标数字0的有10个，标数字n(n＝1，2，3，4)的有n个．现从袋中任取一球，随机变量X表示所取球上标的数字，求X的方差、标准差． 状元随笔　已知标数字n的有n个，即标数字1的有1个、标数字2的有2个，标数字3的有3个，标数字4的有4个，从而可以明确随机变量X的取值及各个取值对应的概率，进而写出X的分布列、求出X的均值，即可求得X的方差、标准差． 方法归纳 求离散型随机变量的方差和标准差的步骤 (1)明确随机变量的所有取值，并理解随机变量每一个取值的意义； (2)求出随机变量取各个值的概率； (3)列出随机变量的分布列； (4)利用均值公式EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn，求出随机变量X的均值EX； (5)利用方差公式DX＝求出随机变量X的方差DX； (6)利用方差与标准差的关系，求出随机变量的标准差＝. 跟踪训练2　有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令X＝x·y. 求：(1)X所取各值的概率； (2)随机变量X的均值与方差． 题型三　均值、方差的综合应用 例3　有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某 ... ...