综合型问题 1在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E、F分别在线段AB、CD上），记它们的面积分别为SABCD和SBFDE，现给出下列命题：①若，则tan∠EDF=；②若DE2=BD·EF，则DF=2AD. 则（ ） A、①是真命题，②是真命题 B、①是真命题，②是假命题 C、①是假命题，②是真命题 D、①是假命题，②是假命题 【解题思路】根据图像和面积的计算可设BE=2x，AE=，由菱形的性质可知DE=2x，在Rt△DAE中，有勾股定理的DA= x，所以tan∠EDF=tan∠DEA=； 由菱形面积的计算方法可知：BD·EF就是菱形BFDE的面积，而菱形BFDE的面积还可以用DF·AD计算，所以DE2=DF·AD化简整理的DF=2AD 【答案】A 【点评】本题主要考查有关面积的计算，其中涉及到勾股定理、菱形的性质、锐角三角函数值，是一道综合性很强的题。难度较大 2．如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3) ，把直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m)，与x轴、y轴分别交于C、D两点 ⑴求 m的值； ⑵求过 A、B、D 三点的抛物线的解析式； ⑶ 若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点 E ，使四边形 OECD 的面积S1 ，是四边形OACD 面积S的?若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 ． 【解题思路】⑴设正比例函数和反比例函数的解析式分别为 ∵正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3) ∴， ∴， ∵点B(6,m)在反比例函数的图像上 ∴ ⑵由⑴得点B(6，)， 设直线OA 向下平移后BD的解析式为： 把点B(6，)代入BD的解析式：得 ∴D(0，) 设过A ( 3 , 3)，B(6，)，D(0，)的 抛物线的解析式为则 解得：. ∴ ⑶ ∵BD：，∴令得则C() ∴ ∴ 假设存在点E，则 ∴，令 解得，（不合题意，舍去） ∴ 【点评】这是一道典型的数形结合的试题，综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数、点的坐标、方程、直角坐标系中平行线解析式的处理，知识的综合运用能力强，要求学生有直觉猜想、空间想象、合情推理、抽象概括、符号表示、运算求解、演绎说理等综合能力.难度较大. 3.如图所示,AC为⊙O的直径,且PA⊥AC,BC是⊙O的一条弦,直线PB交直线AC于点D,. (1)求证:直线PB是⊙O的切线； (2)求cos∠BCA的值. 【解题思路】第(1)小题要证切线,须连半径,证垂直.连接、,证明≌即可；第(2)小题要利用平行线性质将所求问题转化为求的余弦值,在中,设出,根据已知条件用含的代数式表示边OA、OP的长,再利用三角函数求之. 【答案】(1)证明:连接OB、OP ………………………………………………………(1分) ∵ 且∠D=∠D ∴△BDC∽△PDO ∴∠DBC=∠DPO ∴BC∥OP ∴∠BCO=∠POA ∠CBO=∠BOP ∵OB=OC ∴∠OCB=∠CBO ∴∠BOP=∠POA 又∵OB=OA OP=OP ∴△BOP≌△AOP ∴∠PBO=∠PAO 又∵PA⊥AC ∴∠PBO=90° ∴直线PB是⊙O的切线 …………………………………(4分) (2)由(1)知∠BCO=∠POA 设PB,则 又∵ ∴ 又∵BC∥OP ∴ ∴ ∴ ∴ ∴cos∠BCA=cos∠POA= ……………………………………………(8分) (注:其他解法依据情况酌情给分) 【点评】本题以基本图形:三角形与圆相结合为背景,综合考查了圆的切线的判定定理、平行线的判定与性质、三角形的相似与全等、等腰三角形性质、锐角三角函数、勾股定理等知识,知识点丰富；考查了学生综合运用知识以及转化思想来解决问题的能力.2个小题设问方式较常规,为学生熟知,能让学生正常发挥自己的思维水平.对于在几何图形的证明与求解中,辅助线的添加成为部分学生的一大难题,本题中的2条辅助线添法是关键,就这2条辅助线就可以将中下层面的学生拒之题外.难度较大. 410.如图，⊿ABC和⊿CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE ;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 ... ...
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